Пи-система и сигма-алгебра

[ihq.pl]

dgwuqtj
То, что эта система образует алгебру, понятно. Построить алгебру из исходных множеств, как я это понимаю, значит дополнить систему множествами, образованными из исходных с помощью теоретико-множественных операций.

-- 11.11.2023, 22:48 --

В случае ТС, например, чтобы доказать равенство $\alpha(\xi^{-1}\tau) = \xi^{-1}\alpha(\tau)$, надо указать операции, с помощью которых из множеств $\tau$ получаются множества из $\alpha(\tau)$.

[dgwuqtj]

Ну да. Вы утверждаете, что в данном конкретном случае достаточно взять разности и дополнения до разностей, и это легко проверить, зная явное описание нужной алгебры. Только точки тоже придётся считать отрезками.

[ihq.pl]

dgwuqtj в сообщении #1617466 писал(а):

Вы утверждаете, что в данном конкретном случае достаточно взять разности и дополнения до разностей

Попробовал доказать, не получилось, поэтому уже не утверждаю

Вот здесь утверждение с доказательством.
Пусть $M=\{\varnothing, \mathbb{R}, A\}$, где $A$ - объединение непересекающихся отрезков. Тогда система $\mathcal{A}$, состоящая из множеств вида $A/B, A\in M, B\in M$, их дополнений и конечных объединений, образует алгебру.
Доказательство:
$\varnothing = R\setminus R , R = \overline{A\setminus A}, A = A\setminus\varnothing \Rightarrow \varnothing, R, A \in\mathcal{A}$;
$A\in M\Rightarrow \bar{A} = \mathbb{R}\setminus A\in\mathcal{A}$;
$A,B\in M\Rightarrow A\cup B, A\cap B\in \mathcal{A}$ (как множества из $M$);
$\bar{A}\cap\bar{B} = \mathbb{R}\setminus(A\cup B)\in\mathcal{A}$;
$\bar{A}\cup\bar{B} = \mathbb{R}\setminus(A\cap B)\in\mathcal{A}$;
$A\cap\bar{B}=A\setminus B\in\mathcal{A}$;
$A\cup \bar{B} = \overline{(B\setminus A)}\in\mathcal{A}$;
$A,B,C\in M\Rightarrow (A\setminus B)\cap C = (A\cap C)\setminus B\in\mathcal{A};$
$A,B,C\in M\Rightarrow (A\setminus B)\cap \bar{C} = A\setminus (B\cup C)\in\mathcal{A};$
$A,B,C,D\in M\Rightarrow (A\setminus B)\cap (C\setminus D) = (A\cap C)\setminus (B\cup D)\in\mathcal{A}$

-- 11.11.2023, 23:29 --

А из чего состоит эта алгебра, точек, промежутков.. по сути уже не интересно. Главное, чтобы она была минимальной над системой отрезков.

[ihq.pl]

dgwuqtj
Еще раз посмотрел. Достаточно потребовать, чтобы $\mathcal{A}$ состояла из множеств вида $A\setminus B, A,B\in M$ и их конечных объединений. Отдельно требовать, чтобы в $\mathcal{A}$ входили еще и дополнения этих множеств, не надо, т.к. $\overline{A\setminus B} = (E\setminus A)\cup B$.

Алгебра $\mathcal{A}$ - наименьшая из всех алгебр, содержащих пи-систему $M$.

-- 17.11.2023, 20:26 --

И всё-таки буду утверждать, что замыкание $\mathcal{A}$ по счетным пересечениям даст $\sigma$-алгебру. Очень надеюсь, что уважаемый Padawan разубедит меня в этом.