Пи-система и сигма-алгебра

[mskhl]

Здравствуйте.
Никак не могу придумать доказательство вот этого факта:
Вначале определим для некоторой случайной величины \xi следующую систему множеств: \sigma (\xi) = \left\{ \xi^{-1}(B) | B \in \mathfrak{B} ( \mathbb{R} ) \right\}
Очевидно, что это сигма-алгебра.
Далее определим наименьшую \pi - систему: \pi (\xi) = \left\{ \xi^{-1}(A) | A \in \tau \right\}, где \tau - некоторая \pi - система, которая порождает борелевские множества, т.е. \sigma (\tau) = \mathfrak{B} ( \mathbb{R} ).
Собственно говоря, вопрос в том, почему \sigma (\pi (\xi)) = \sigma (\xi). Это мне нужно для доказательство критерия независимости случайных величин. Я знаю одно доказательство "в лоб", но оно мне не нравится эстетически. Хочется чего-то более крутого, типа того, что если независимы пи-системы, то независимость автоматически перекидывается и на сигма-алгебры, ими порожденные. Вот только для этого нужно доказать то, что вот эти пи-системы порождают именно эту сигма-алгебру. В лекции этот момент объясняется интуитивно, но вот строго доказать я не смог.
Хотелось бы увидеть хотя бы намек на доказательство.

[ihq.pl]

mskhl в сообщении #1617072 писал(а):

вопрос в том, почему $\sigma (\pi (\xi)) = \sigma (\xi)$.

Интуитивно, вроде, должно быть так. Но как доказать это, да еще чтобы было красиво... А если начать с построения $\sigma$-алгебры, содержащей $\tau$? Ясно, что $\alpha(\tau)$ (наименьшая алгебра) содержится в любой $\sigma$-алгебре, содержащей $\tau$. Если теперь замкнуть $\alpha(\tau)$ относительно взятия счетного пересечения, получится очевидно наименьшая $\sigma$-алгебра, содержащая $\tau$, то есть $\mathfrak{B}$. Остается повторить эти шаги в системе множеств, индуцированных случайной величиной $\xi$. Тут, конечно, есть к чему придраться, например, почему замыкание $\alpha(\tau)$ есть $\sigma(\tau)$. Это надо доказать и, мне кажется, это не должно быть очень сложно, хотя... :)

[Padawan]

mskhl в сообщении #1617072 писал(а):

где $\tau$ - некоторая $\pi$ - система, которая порождает борелевские множества

Дайте, пожалуйста, определение $\pi$ - системы.

[ihq.pl]

Padawan в сообщении #1617198 писал(а):

Дайте, пожалуйста, определение $\pi$ - системы.

Как у ТС - не знаю, у Ширяева так: Пи-системой называется система подмножеств $\Omega$, замкнутая относительно взятия конечных пересечений.

[ozheredov]

ihq.pl в сообщении #1617240 писал(а):

система подмножеств $\Omega$, замкнутая относительно взятия конечных пересечений.

Потому что сигма - типа знак суммы, а пи - произведения (индикаторных функций)?

[ihq.pl]

ozheredov в сообщении #1617269 писал(а):

Потому что сигма - типа знак суммы, а пи - произведения (индикаторных функций)?

Скорее всего. Во всяком случае, сигма и пи подходят по смыслу. Есть еще $\lambda$-системы. Вот, почему их так обозвали - сказать трудно

[Padawan]

mskhl в сообщении #1617072 писал(а):

Собственно говоря, вопрос в том, почему $\sigma (\pi (\xi)) = \sigma (\xi)$.

Обозначим $\xi^{-1}(\tau)=\{\xi^{-1}(A)\mid A\in\tau\}$ для любого семейства множеств $\tau$. Нам надо проверить, что $\sigma(\xi^{-1}(\tau))=\xi^{-1}(\sigma(\tau))$. В одну сторону легко: из $\tau\subset\sigma(\tau)$ получаем $\xi^{-1}(\tau)\subset\xi^{-1}(\sigma(\tau))$, откуда $\sigma(\xi^{-1}(\tau))\subset\xi^{-1}(\sigma(\tau))$, так как справа стоит сигма-алгебра. В обратную чуть посложнее. Обозначим через $\beta$ множество всех тех $B\in\sigma(\tau)$ таких, что $\xi^{-1}(B)\in \sigma(\xi^{-1}(\tau))$. Тогда $\tau\subset \beta$ и $\beta$ -- сигма-алгебра (например, если $B_i\in \beta$ для всех $i=1,2,\ldots$, то $\xi^{-1}(B_i)\in\sigma(\xi^{-1}(\tau)) $, а тогда $\xi^{-1}(\bigcup_i B_i)=\bigcup_i \xi^{-1}(B_i)\in \sigma(\xi^{-1}(\tau))$, значит, $\bigcup_i B_i \in\sigma(\xi^{-1}(\tau))$). Так как $\beta$ -- сигма-алгебра, содержащая $\tau$, то $\beta=\sigma(\tau)$. Отсюда получаем по определению $\beta$, что $\xi^{-1}(\sigma(\tau))\subset\sigma(\xi^{-1}(\tau))$.

[ozheredov]

ihq.pl в сообщении #1617304 писал(а):

Скорее всего.

Thanks

[Padawan]

ihq.pl в сообщении #1617091 писал(а):

А если начать с построения $\sigma$-алгебры, содержащей $\tau$? Ясно, что $\alpha(\tau)$ (наименьшая алгебра) содержится в любой $\sigma$-алгебре, содержащей $\tau$. Если теперь замкнуть $\alpha(\tau)$ относительно взятия счетного пересечения, получится очевидно наименьшая $\sigma$-алгебра, содержащая $\tau$, то есть $\mathfrak{B}$. Остается повторить эти шаги в системе множеств, индуцированных случайной величиной $\xi$.

Я тоже сначала хотел так доказать, используя трансфинитную индукцию по цепочке построения $\sigma(\tau)$ и строя аналогичную цепочку от $\xi^{-1}(\tau)$ к $\sigma(\xi^{-1}(\tau))$. Оно получалось, но сложно и явно не красиво.

[ihq.pl]

Padawan в сообщении #1617359 писал(а):

Я тоже сначала хотел так доказать, используя трансфинитную индукцию по цепочке построения $\sigma(\tau)$ и строя аналогичную цепочку от $\xi^{-1}(\tau)$ к $\sigma(\xi^{-1}(\tau))$. Оно получалось, но сложно и явно не красиво.

Не понимаю, в чем сложность. Показываем, что

$$\xi^{-1}(\alpha(\tau)) = \alpha(\xi^{-1}(\tau))$$

и дело в шляпе.

-- 11.11.2023, 10:58 --

И, кстати, этого должно быть достаточно для того, что хочет ТС, то есть достаточно показать независимость наименьших алгебр.

[Padawan]

ihq.pl
Сложность будет на следующем шаге, когда из $\alpha(\tau)$ надо получить $\sigma(\tau)$. Сначала надо добавить все счётные пересечения, потом к тому, что получиться добавить все счётные объединения, потом опять пересечения, и так далее. Потом все эти семейства объединить, потом опять добавить все счётные пересечения, объединения и т. д., потом опять объединить и т. д. В итоге получается вполне упорядоченная цепочка семейств множеств, заиндексированная всеми счётными ординалами. Объединение всех этих семейств и будет $\sigma(\tau)$. И вот по этим ординалам надо вести трансфинитную индукцию.

-- Сб ноя 11, 2023 12:13:53 --

Пусть например, $\tau$ - семейство всех замкнутых множеств в $\mathbb R$.

-- Сб ноя 11, 2023 12:15:37 --

ihq.pl в сообщении #1617091 писал(а):

Если теперь замкнуть $\alpha(\tau)$ относительно взятия счетного пересечения, получится очевидно наименьшая $\sigma$-алгебра, содержащая $\tau$, то есть $\mathfrak{B}$.

Не получится. Не будет замкнутости относительно счётных объединений.

[ihq.pl]

Padawan в сообщении #1617373 писал(а):

Не будет замкнутости относительно счётных объединений

А как же принцип двойственности?

[Padawan]

Давайте на примере. Пусть $\tau$ - все замкнутые множества. Чем будет $\alpha(\tau) $?

[ihq.pl]

Всё $\Omega$, пустое множество, конечные суммы непересекающихся множеств из $\tau$ и их дополнения.

[Padawan]

Нет. "Их дополнения" - это открытые множества. А пересечение открытого и замкнутого не обязано быть открытым или замкнутым. Так что в Вашем перечне его не будет.