Интеграл, имеющий в составе кв. трехчлен

[WinterPrimat]

Есть интеграл:
$\int{\dfrac{dx}{\left(x-1\right)\sqrt{x^2+2x-2}}}= \left[\begin{matrix} x-1=\dfrac{1}{t} \\ x=\dfrac{1}{t}+1 \\ t=\dfrac{1}{x-1} \\ dx=-\dfrac{1}{t^2}dt \end{matrix}\right]= -\int{\dfrac{tdt}{t^2\sqrt{\dfrac{1}{t^2}+\dfrac{2}{t}+1+\dfrac{2}{t}+2-2}}}=\\ =-\int{\dfrac{\left|t\right|dt}{t\sqrt{t^2+4t+1}}}=-\mathrm{sign}{\left(x-1\right)}\int{\dfrac{dt}{\sqrt{t^2+4t+1}}}=-\mathrm{sign}{\left(x-1\right)}\int{\dfrac{d\left(t+2\right)}{\sqrt{\left(t+2\right)^2-3}}}=\\ =-\mathrm{sign}{\left(x-1\right)}\ln{\left|t+2+\sqrt{t^2+4t+1}\right|}+C=\\ =-\mathrm{sign}{\left(x-1\right)}\ln{\left|\dfrac{2x-1}{x-1}+\sqrt{\dfrac{1+4x-4+x^2-2x+1}{\left(x-1\right)^2}}\right|}+C=\\ =-\mathrm{sign}{\left(x-1\right)}\ln{\left|\dfrac{2x-1}{x-1}+\dfrac{\sqrt{x^2+2x-2}}{\left|x-1\right|}\right|}+C$
Так я его решил. В ответе же просто:
$-\ln{\left|\dfrac{2x-1+\sqrt{x^2+2x-2}}{x-1}\right|}+C$
И, похоже, такой ответ работает. Подскажите, пожалуйста, где я усложнил себе решение, или где допустил ошибку?
Спасибо.

[GAA]

При $x> 1$ Ваш ответ и «ответ» совпадают после замены $\mathrm{sign}(x-1)$ на 1.
При $x <1$ Ваш ответ преобразуется к «ответу»
$\ln\left|\frac {2x-1-\sqrt{x^2+2x-2}} {x-1}\right| +C = \ln\left|\frac {(2x-1)^2-(x^2+2x-2)} {(x-1)(2x-1+\sqrt{x^2+2x-2})} \right| + C=
$= \ln \left| \frac {3(x-1)}{2x-1+\sqrt{x^2+2x-2}} \right| + C =$
$=-\ln \left|\frac {2x-1+\sqrt{x^2+2x-2}} {x-1} \right| + C + \ln 3 = -\ln \left|\frac {2x-1+\sqrt{x^2+2x-2}} {x-1} \right| + C_1. $
(Замену переменной при взятии интеграла Вы использовали правильную.)

[WinterPrimat]

GAA
Спасибо за Ваш ответ.

[Утундрий]

(Оффтоп)

Вот что значит ответственный подход к ответу!