2014 dxdy logo

Научный форум dxdy

Математика, Физика, Computer Science, Machine Learning, LaTeX, Механика и Техника, Химия,
Биология и Медицина, Экономика и Финансовая Математика, Гуманитарные науки


Правила форума


Посмотреть правила форума



Начать новую тему Ответить на тему
 
 Интеграл, имеющий в составе кв. трехчлен
Сообщение05.11.2023, 12:27 


02/01/23
76
Есть интеграл:
$\int{\dfrac{dx}{\left(x-1\right)\sqrt{x^2+2x-2}}}=
\left[\begin{matrix}
x-1=\dfrac{1}{t} \\
x=\dfrac{1}{t}+1 \\
t=\dfrac{1}{x-1} \\
dx=-\dfrac{1}{t^2}dt
\end{matrix}\right]=
-\int{\dfrac{tdt}{t^2\sqrt{\dfrac{1}{t^2}+\dfrac{2}{t}+1+\dfrac{2}{t}+2-2}}}=\\
=-\int{\dfrac{\left|t\right|dt}{t\sqrt{t^2+4t+1}}}=-\mathrm{sign}{\left(x-1\right)}\int{\dfrac{dt}{\sqrt{t^2+4t+1}}}=-\mathrm{sign}{\left(x-1\right)}\int{\dfrac{d\left(t+2\right)}{\sqrt{\left(t+2\right)^2-3}}}=\\
=-\mathrm{sign}{\left(x-1\right)}\ln{\left|t+2+\sqrt{t^2+4t+1}\right|}+C=\\
=-\mathrm{sign}{\left(x-1\right)}\ln{\left|\dfrac{2x-1}{x-1}+\sqrt{\dfrac{1+4x-4+x^2-2x+1}{\left(x-1\right)^2}}\right|}+C=\\
=-\mathrm{sign}{\left(x-1\right)}\ln{\left|\dfrac{2x-1}{x-1}+\dfrac{\sqrt{x^2+2x-2}}{\left|x-1\right|}\right|}+C$
Так я его решил. В ответе же просто:
$-\ln{\left|\dfrac{2x-1+\sqrt{x^2+2x-2}}{x-1}\right|}+C$
И, похоже, такой ответ работает. Подскажите, пожалуйста, где я усложнил себе решение, или где допустил ошибку?
Спасибо.

 Профиль  
                  
 
 Re: Интеграл, имеющий в составе кв. трехчлен
Сообщение05.11.2023, 20:05 
Заслуженный участник


12/07/07
4548
При $x> 1$ Ваш ответ и «ответ» совпадают после замены $\mathrm{sign}(x-1)$ на 1.
При $x <1$ Ваш ответ преобразуется к «ответу»
$\ln\left|\frac {2x-1-\sqrt{x^2+2x-2}} {x-1}\right| +C = \ln\left|\frac {(2x-1)^2-(x^2+2x-2)} {(x-1)(2x-1+\sqrt{x^2+2x-2})} \right| + C=
$= \ln \left| \frac {3(x-1)}{2x-1+\sqrt{x^2+2x-2}} \right| + C =$
$=-\ln \left|\frac  {2x-1+\sqrt{x^2+2x-2}} {x-1} \right| + C + \ln 3 = -\ln \left|\frac  {2x-1+\sqrt{x^2+2x-2}} {x-1} \right| + C_1. $
(Замену переменной при взятии интеграла Вы использовали правильную.)

 Профиль  
                  
 
 Re: Интеграл, имеющий в составе кв. трехчлен
Сообщение05.11.2023, 20:11 


02/01/23
76
GAA
Спасибо за Ваш ответ.

 Профиль  
                  
 
 Re: Интеграл, имеющий в составе кв. трехчлен
Сообщение05.11.2023, 20:20 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


15/10/08
12989

(Оффтоп)

Вот что значит ответственный подход к ответу!

 Профиль  
                  
Показать сообщения за:  Поле сортировки  
Начать новую тему Ответить на тему  [ Сообщений: 4 ] 

Модераторы: Модераторы Математики, Супермодераторы



Кто сейчас на конференции

Сейчас этот форум просматривают: Alex Krylov


Вы не можете начинать темы
Вы не можете отвечать на сообщения
Вы не можете редактировать свои сообщения
Вы не можете удалять свои сообщения
Вы не можете добавлять вложения

Найти:
Powered by phpBB © 2000, 2002, 2005, 2007 phpBB Group