Задачник Кострикина, 3.21 б)

[derlim]

Пусть $\left\lvert X \right\rvert = m,\;\left\lvert Y \right\rvert = n,\;\sigma \in S_X,\;\tau \in S_Y.$ Определим $\xi \in S_X \times S_Y$, полагая $$\xi(x,y) = (\sigma(x), \tau(y)),\;x \in X, y \in Y.$$ Найти длины независимых циклов в разложении перестановки $\xi$, если известны длины $k_1,...,k_s$ и $l_1,...,l_t$ независимых циклов в разложении перестановок $\sigma$ и $\tau$ (с учётом циклов длины 1). Воспользовавшись этим найти $sgn\;\xi$.

В задачнике есть указание, что сначала стоит убедиться, что для ситуации, когда $\sigma и $\tau сами являются циклами, чётность $\xi$ совпадает с чётностью $m+n$, а $\xi$ разбивается на $gcd(m,n)$ циклов длины $lcm(m,n)$ каждый.

Моё решение.
Рассмотрим ситуацию, когда $\sigma и $\tau сами являются циклами. Всевозможных различных пар существует $m\cdot n$. Длина цикла пар равна $lcm(m,n)$, потому что для каждого элемента пары его собственный цикл должен уместиться в цикл пары целое число раз. Число циклов получается делением числа всех возможных комбинаций на длину цикла, поэтому оно равно $gcd(m,n)$. Каждый цикл можно разложить в $lcm(m,n)-1$ транспозицию, общее число транспозиций равно $(lcm(m,n) - 1)\cdot gcd(m,n)$.

Разбирая по очереди три разных случая для четных и нечётных $m$ и $n$ получаем:

$$(lcm(m,n) - 1)\cdot gcd(m,n) \mod 2 = (m \cdot n - gcd(m,n)) \mod 2 = (m+n) \mod 2.$$

Если теперь $\sigma$ и $\tau$ разбиваются на $s$ и $t$ циклов соответственно, то нам нужно сложить длины для всех возможных комбинаций циклов. Тогда итоговый ответ: $sgn\;\xi = m \cdot t + n \cdot s$.

Подскажите пожалуйста, верно ли это рассуждение?

[Null]

У меня получается $sgn\;\xi = (-1)^{m \cdot t + n \cdot s}$.

[derlim]

Null в сообщении #1615386 писал(а):

У меня получается $sgn\;\xi = (-1)^{m \cdot t + n \cdot s}$.

Ой, да, конечно, я выше с ошибкой написал. Четность совпадает с четностью $m \cdot t + n \cdot s$, то есть равна $(-1)^{m \cdot t + n \cdot s}$. Получается, всё верно?