Задачка на тензоры

[lazarius]

Это мое первое сообщение и я, пожалуй, представлюсь. Пенсионер, уже год изучаю физику и математику. Из математики на данный момент изучил главу 6 - Tensor Analysis в книжке Vector and Tensor Analysis, by G.E Hay. Решаю задачки (problems) к этой главе и не все даются просто.

Правила форума я прочитал и честно изучил правила записи формул но другие правила не получается не нарушить. Мне кажется то что я решил 30 задачек достаточно чтобы снять с меня обвинение в поиске халявы. Но я вынужден начать неправильно.

Вот у меня такая задача и я даже не представляю, с какой стороны подходить к ее решению:

Цитата:

31. If $f$ is an invariant, use the results of Problem 30 to prove that the invariant $g^{rs} f_{rs} = \nabla^2f$, where $\nabla^2$ is the Laplacian operator discussed in the second last paragraph of §48; hence show that

$\displaystyle\nabla^2f = \frac1{\sqrt g}\frac{\partial}{\partial z^r}\left({\sqrt g}\,g^{rs}\frac{\partial f}{\partial z^r}\right)$.

К тому же мне кажется что здесь что-то не так с индексами но я записал так как в книжке.

Как видите, здесь сразу две ссылки на предыдущий текст, и в Problem 30 тоже есть ссылка на Problem 21, а в этой последней - ссылка на Problem 20.

Поэтому даю ссылку на pdf файл c полным текстом книжки (~20Mb):

https://ia802903.us.archive.org/22/item ... _g_hay.pdf

Заранее благодарю за помощь.

-

[svv]

Вы, наверное, обратили внимание на то, что эта книга очень старая, написана в 1953 году. За это время в данной области значительно изменились обозначения, определения, набор ключевых понятий и вообще подход к изложению.

В задании две опечатки. Должно быть:
$g^{rs}f_{|rs}=\nabla^2 f$
$\nabla^2 f=\frac{1}{\sqrt{g}}\frac{\partial}{\partial z^r}\left(\sqrt{g}\;g^{rs}\,\frac{\partial f}{\partial z^s}\right)$

В главе 4, п.48 лапласиан введён как сумма вторых производных по декартовым координатам. Проблема в том, что ввести в некоторой области декартовы координаты возможно лишь в том случае, если тензор кривизны в этой области равен нулю (см. короткий абзац после формулы 77.5) — а это частный случай, хоть и важный. Таким образом, читателю предлагается найти обобщение выражения на случай, когда координаты криволинейные, а декартовы и ввести нельзя. Боюсь, при той скудной информации, которая даётся в книге, начинающему читателю это не под силу. Я не нашёл даже замечания о том, что ковариантная производная является обобщением обычной производной по направлению.

Гораздо проще путь в обратном направлении (ломать — не строить). Возьмём выражение $g^{rs}f_{|rs}$. Предположим, что кривизна нулевая и используются декартовы координаты. Тогда компоненты метрического тензора постоянны (теорема 1, стр. 179). Все символы Кристоффеля равны нулю (73.9, 73.12). В 76.1, 76.2 исчезает второе слагаемое, и ковариантная производная превращается в обычную частную производную:
$g^{rs}f_{|rs}=g^{rs}\frac{\partial^2 f}{\partial z^r\partial z^s}$
Учитывая вид метрического тензора (теорема 1, стр. 179), получим при $n=3$
$g^{rs}\frac{\partial^2 f}{\partial z^r\partial z^s}=\frac{\partial^2 f}{\partial (z^1)^2}+\frac{\partial^2 f}{\partial (z^2)^2}+\frac{\partial^2 f}{\partial (z^3)^2}$,
то есть "исходный" лапласиан.

Если же исходить из $g^{rs}f_{|rs}$ и решённой задачи 30, то:
$g^{rs}f_{|rs}=g^{sr}f_{|sr}$ (переименование индексов)
$=g^{rs}f_{|sr}$ (симметричность $g^{rs}$)
$=(g^{rs}f_{|s})_{|r}$ (ковариантное постоянство $g^{rs}$, 76.5)
$=(g^{rs}A_s)_{|r}$ (обозначили $A_s=f_{|s}$)
$=A^r_{\cdot}{}_{|r}$
Дальше используем результат задачи 30 и потом подставляем
$A^r=g^{rs}f_{|s}=g^{rs}\frac{\partial f}{\partial z^s}$ (последнее в силу 76.4)

lazarius в сообщении #1614961 писал(а):

решил 30 задачек

Надеюсь, Вы не начали изучение книги с шестой главы?

[lazarius]

svv в сообщении #1615001 писал(а):

В задании две опечатки. Должно быть:
$g^{rs}f_{|rs}=\nabla^2 f$

Вторую опечатку я заметил, а вот эта очень сильно меняет картину. Надеюсь я все-таки дойду до уровня когда буду распознавать такие опечатки.

svv в сообщении #1615001 писал(а):

Надеюсь, Вы не начали изучение книги с шестой главы?

Именно с нее и начал. И я заметил что метрический тензор вводят для эвклидова пространства а приходят к тензору кривизны. Эти пробелы я закрыл по учебнику Рашевского:

Глава V. Криволинейные координаты в аффинном и евклидовом пространствах
Глава VI. Многообразия
Глава VII. Римановы пространства и пространства аффинной связности

Сейчас начал изучать курс Коренева (этот рассчитываю пройти throughout):

http://fizmatkniga.org/catalog/st-eaeef ... duct-7569/

Но надо бы покончить с оставшейся дюжиной задач к главе 6 книжки G.E. Hay.

Я рад что набрел на этот форум, надеюсь и далее находить здесь помощь.

Thank you very much!

-

[Утундрий]

Дифференциальная геометрия - область синтетическая и приемлет любой язык. Была бы мысль. Здесь, например, мысль заключается в том, чтобы тупо в лоб показать, что представленная крокозябра: а) инвариант, б) совпадает с лапласианом в стандартных координатах плоского пространства.

[svv]

lazarius в сообщении #1615013 писал(а):

Вторую опечатку я заметил, а вот эта очень сильно меняет картину. Надеюсь я все-таки дойду до уровня когда буду распознавать такие опечатки.

Пусть в $f_{rs}$ нет никаких производных. Тогда настораживает:
1) Через $f$ обозначено скалярное поле. Что такое $f_{rs}$ с двумя индексами?
2) Утверждают, что $g^{rs}f_{rs}$ даёт лапласиан. Неужели простая свёртка $f_{rs}$ с метрикой обладает дифференцирующими свойствами?

[lazarius]

svv в сообщении #1615001 писал(а):

Таким образом, читателю предлагается найти обобщение выражения на случай, когда координаты криволинейные, а декартовы и ввести нельзя.

Как я уже писал, в этой книжке все рассмотрение ведется в эвклидовом пространстве трех измерений. Соответственно, можно предположить что от читателя требуется только найти обобщение для curvilinear coordinates в этом самом эвклидовом пространстве, для которого декартовы координаты ввести возможно.

Это конечно же пробел но он закрывается изучением трех глав в учебнике Рашевского о чем я писал выше. И надо учесть что здесь все, что может понадобиться для изучения физики, вводится на 33 страницах (плюс 4 с условиями 46 задач). Я бы сказал неплохой crash course.

svv в сообщении #1615001 писал(а):

Боюсь, при той скудной информации, которая даётся в книге, начинающему читателю это не под силу. Я не нашёл даже замечания о том, что ковариантная производная является обобщением обычной производной по направлению.

Действительно, явно такое замечание не делается. Но в §76 Covariant derivatives прямо в первом абзаце показывается что ковариантная производная ковариантного вектора вводимая формулой (76.1) является тензором. Следующая формула (76.2) вводит ковариантную производную контравариантного вектора - и это тоже тензор. Видимо профессор мичиганского университета посчитал это вполне достаточным для того чтобы читатель соответствующий вывод сделал сам. И сегодня мне вроде бы это очевидно.

Аналогично свертка ковариантной производной контравариантного вектора из Problem 30 является обобщением дивергенции, а свертка инварианта из нашей задачи - обобщением лапласиана.

Вторую часть - собственно вывод формулы - вы продемонстрировали.

Еще раз благодарю вас за то что вы указали на опечатку которую неделю назад я еще не был в состоянии разглядеть.

-

[lazarius]

lazarius в сообщении #1615592 писал(а):

а свертка инварианта из нашей задачи - обобщением лапласиана.

Я не нашел способа редактировать свое сообщение - очевидно что имел ввиду свертку второй ковариантной производной инварианта с обратным метрическим тензором - $g^{rs}f_{|rs} = (g^{rs}f_{|r})_{|s}$ .

-

[svv]

lazarius в сообщении #1615640 писал(а):

Я не нашел способа редактировать свое сообщение

Редактирование возможно лишь в течение часа после отправки сообщения.

lazarius в сообщении #1615592 писал(а):

Как я уже писал, в этой книжке все рассмотрение ведется в эвклидовом пространстве трех измерений.

Нет, это не так.

Хорошо, что помимо этой книги, Вы знакомы и с другими по этой теме. В таком случае я уверен, что Вам известен следующий факт. Если у произвольного тензора в некоторой точке $P$ все компоненты в некоторой системе координат (СК) равны нулю, то они в этой точке будут нулевыми в любой СК. Поскольку преобразование координат обратимо, верно и обратное: если в одной СК у тензора имеется хоть одна ненулевая компонента, то это же верно для любой СК.

В частности, равенство или неравенство нулю тензора кривизны — это его инвариантное свойство. В евклидовом пространстве в декартовой СК компоненты метрического тензора постоянны $\Rightarrow$ все символы Кристоффеля нулевые $\Rightarrow$ тензор кривизны равен нулю. Значит, он нулевой в любой СК, даже самой криволинейной. Вводя тензор кривизны в шестой главе, автор вряд ли подразумевал лишь частный случай тождественного нуля. И поэтому не мог ограничиваться случаем евклидова пространства. Собственно, уже термин Riemannian geometry (стр.157) подразумевает «неевклидова», точнее, «не обязательно евклидова».

lazarius в сообщении #1615592 писал(а):

Соответственно, можно предположить что от читателя требуется только найти обобщение для curvilinear coordinates в этом самом эвклидовом пространстве, для которого декартовы координаты ввести возможно.

В принципе, работа с общими криволинейными координатами в евклидовом пространстве (не только ортогональными) даёт очень неплохую подготовку к работе в пространстве с кривизной (где «прямолинейных» координат уже не существует). Я бы сказал, подготавливает на 50 процентов. Но не на 100: искривлённое пространство — это всё же качественно иной случай.

lazarius в сообщении #1615592 писал(а):

И сегодня мне вроде бы это очевидно.

Хорошо.

[Утундрий]

svv в сообщении #1615695 писал(а):

работа с общими криволинейными координатами в евклидовом пространстве (не только ортогональными) даёт очень неплохую подготовку к работе в пространстве с кривизной (где «прямолинейных» координат уже не существует). Я бы сказал, подготавливает на 50 процентов. Но не на 100: искривлённое пространство — это всё же качественно иной случай.

По мне, вся разница между этими двумя случаями заключается в одной фразе: " А теперь рассмотрим произвольные $g_{\mu \nu}$". На качественное различие как-то не тянет.

[lazarius]

svv в сообщении #1615047 писал(а):

Хорошо, что помимо этой книги, Вы знакомы и с другими по этой теме. В таком случае я уверен, что Вам известен следующий факт. Если у произвольного тензора в некоторой точке $P$ все компоненты в некоторой системе координат (СК) равны нулю, то они в этой точке будут нулевыми в любой СК.

В этой книжке такой факт упоминается явно - другие книжки по этому поводу открывать необходимости нет.

svv в сообщении #1615047 писал(а):

Вводя тензор кривизны в шестой главе, автор вряд ли подразумевал лишь частный случай тождественного нуля. И поэтому не мог ограничиваться случаем евклидова пространства.

Я это заметил и писал об этом выше:

lazarius в сообщении #1615013 писал(а):

И я заметил что метрический тензор вводят для эвклидова пространства а приходят к тензору кривизны.

И в §77 The curvature tensor автор явно пишет:

Цитата:

For any coordinate system in three dimensional space, this tensor vanishes, since it vanishes for rectangular cartesian coordinates.

Еще одно место где он вспоминает о том что есть кривые пространства - §73 Geodesics:

svv в сообщении #1615047 писал(а):

A geodesic may be defined as the curve of shortest length joining two points. In our three-dimensional space, the geodesics are straight lines. If we consider surfaces, which are of course two-dimensional spaces, the geodesics are not necessarily straight lines. For example, in the case of a spherical surface, the geodesics are the great circles, that is, those circles on the sphere whose centers coincide with the center of the sphere.

Но clinical fact состоит в том что метрический тензор введен только для эвклидова пространства и о том как обобщать на кривые нет ни слова - нет понятия касательное пространство, нет понятия пространство афинной связности, а Riemannian space всего лишь обобщение на случай произвольного числа измерений:

Цитата:

In an analogous manner, by the assumption that latin suffixes have the range 1, 2, · · ·, N, where N is any positive integer, the results in this chapter can be generalized to yield the Riemannian geometry of the N-dimensional Riemannian space.

Автор может подразумевать кривые пространства, но требовать от читателя он может только такого же подразумевания.

svv в сообщении #1615695 писал(а):

Редактирование возможно лишь в течение часа после отправки сообщения.

Я даже не заметил что прошло больше часа. Спасибо.

-

[svv]

lazarius в сообщении #1615709 писал(а):

Но clinical fact состоит в том что метрический тензор введен только для эвклидова пространства и о том как обобщать на кривые нет ни слова - нет понятия касательное пространство, нет понятия пространство афинной связности

Если я правильно понял, для Вас это не проблема, поскольку недостающую информацию Вы почерпнули из других книг (например, Рашевского)?

[lazarius]

svv в сообщении #1615712 писал(а):

недостающую информацию Вы почерпнули из других книг (например, Рашевского)?

Других книг - это очень сильно. Но одну книжку - Рашевский П.К. Риманова геометрия и тензорный анализ - мне пришлось открыть и именно по этому поводу.

-

[svv]

lazarius в сообщении #1615709 писал(а):

For any coordinate system in three dimensional space, this tensor vanishes, since it vanishes for rectangular cartesian coordinates.

Подтвердите, пожалуйста, ещё раз (чтобы я успокоился), что Вы понимаете, что на самом деле ничто не мешает и трёхмерному многообразию иметь ненулевую кривизну. Изложение в книжке G.E. Hay создаёт искусственную связь между кривизной (или "римановостью", что бы автор под этим ни понимал) и размерностью многообразия. На самом деле, риманово пространство (= риманово многообразие) любой размерности $\geqslant 2$ может быть искривлённым. Пример.

Исторически риманова геометрия начиналась с изучения кривых и поверхностей в трёхмерном евклидовом пространстве $\mathbb E^3$. (Это наиболее наглядный случай и, похоже, Хэй в самом деле только его и рассматривает.) Обобщение на высшие размерности происходило по той же схеме: рассматривались $m$-мерные многообразия, гладко вложенные в $n$-мерное евклидово пространство $\mathbb E^n$. Существует теорема, в некоторой степени оправдывающая такой подход. Но с тех пор утекло много воды! Геометрия научилась исследовать римановы пространства и без их вложения в некоторое объемлющее евклидово пространство большей размерности, а как бы сами по себе (как будто за их пределами нет ничего). Это не так наглядно, зато полученные при таком подходе результаты справедливы независимо от того, как именно риманово пространство вложено в $\mathbb E^n$, и вложено ли вообще. (Кстати, четырехмерное пространство-время, в котором мы живём, обладает кривизной, согласно общей теории относительности, и при этом вовсе необязательно вложено в некоторое $\mathbb E^n$ )

В общем, надеюсь, что я разрушил ложную ассоциацию "трехмерное $=$ евклидово; риманово $\neq$ трехмерное", если таковая была.

-- Чт ноя 02, 2023 06:44:45 --

P. S. Исправил ссылку на более удачную.

[lazarius]

svv в сообщении #1615717 писал(а):

lazarius в сообщении #1615709 писал(а):

For any coordinate system in three dimensional space, this tensor vanishes, since it vanishes for rectangular cartesian coordinates.

Подтвердите, пожалуйста, ещё раз (чтобы я успокоился), что Вы понимаете, что на самом деле ничто не мешает и трёхмерному многообразию иметь ненулевую кривизну.

Обычно когда он пишет three dimensional он подразумевает эвклидову геометрию. Я это вижу и неправильные связи между размерностью и кривизной не создаются. Спасибо.

-

[svv]

lazarius в сообщении #1615719 писал(а):

Я это вижу и неправильные связи между размерностью и кривизной не создаются.

Ок, отлично.