Множество, элементом которого является оно само

[mihaild]

Vladimir Pliassov в сообщении #1614464 писал(а):

По-моему, наоборот

Простите, я неправильно прочитал - как "множество всех множеств, содержащих себя в качестве элемента".

Vladimir Pliassov в сообщении #1614464 писал(а):

а с "аксиомами, подразумевающими ее отрицание (отрицание аксиомы регулярности)", множество всех множеств, вероятно, может существовать (потому что является множеством, содержащим себя своим элементом).

Нет. Множество всех множеств не может существовать, даже если выкинуть аксиому регулярности вообще.

Vladimir Pliassov в сообщении #1614464 писал(а):

несуществование всякого множества, содержащего себя в качестве своего элемента, зависит от аксиомы регулярности

Нет, не всякого. Можно и без аксиомы регулярности доказать, что множества с некоторыми свойствами не существует. Например, множества со свойством "ему принадлежит любое множество".

[Vladimir Pliassov]

mihaild в сообщении #1614465 писал(а):

множество всех множеств, содержащих себя в качестве элемента

Вы имеете в виду, что это множество пустое? И

mihaild в сообщении #1614460 писал(а):

оно с аксиомой регулярности существует, а без неё - не факт. Например, по приведённой Вами цитате выше, при принятии аксиомы BAFA - его не существует.

? А что за аксиома BAFA? Я не понял из текста.

mihaild в сообщении #1614465 писал(а):

Vladimir Pliassov в сообщении #1614464 писал(а):

а с "аксиомами, подразумевающими ее отрицание (отрицание аксиомы регулярности)", множество всех множеств, вероятно, может существовать (потому что является множеством, содержащим себя своим элементом).

Нет. Множество всех множеств не может существовать, даже если выкинуть аксиому регулярности вообще.

Здесь, наверное, недоразумение. Я имел в виду, что в теориях нефундированных множеств -- множеств, заменяющих аксиому регулярности на ее отрицание, то есть на аксиому $\exists a: a = \{a\}$ (может быть, не в чистом виде, но об этом), -- множество всех множеств, вероятно, может существовать (потому что является множеством, содержащим себя своим элементом, то есть множеством $a: a = \{a\}$).

mihaild в сообщении #1614458 писал(а):

Несуществование множества всех множеств от аксиомы регулярности не зависит, оно противоречит аксиоме выделения - о чем, собственно, парадокс Рассела.

Но с аксиомой регулярности его несуществование тоже ведь можно доказать? (Потому что эта аксиома, как сказано, почти прямо запрещает множество, имеющее себя своим элементом, а множество всех множеств это множество, имеющее себя своим элементом.)

Если это так, то несуществование множества всех множеств зависит и от аксиомы выделения, и от аксиомы регулярности: при наличии любой из этих аксиом это множество не существует. Почему же Вы говорите, что "несуществование множества всех множеств от аксиомы регулярности не зависит"?

Конечно, его несуществование можно доказать и без аксиомы регулярности (в этом верю Вам на слово), но это, по-моему, значит, не то, что оно не зависит от аксиомы регулярности, а то, что оно зависит не только от нее.

mihaild в сообщении #1614465 писал(а):

Vladimir Pliassov в сообщении #1614464 писал(а):

несуществование всякого множества, содержащего себя в качестве своего элемента, зависит от аксиомы регулярности

Нет, не всякого. Можно и без аксиомы регулярности доказать, что множества с некоторыми свойствами не существует. Например, множества со свойством "ему принадлежит любое множество".

Здесь то же самое: то, что можно и без аксиомы регулярности доказать, что множества с некоторыми свойствами не существует, не значит, что несуществование не всякого множества, содержащего себя в качестве своего элемента, зависит от аксиомы регулярности. Мне кажется, что всякого, но не только от аксиомы регулярности.

[mihaild]

Vladimir Pliassov в сообщении #1614494 писал(а):

Вы имеете в виду, что это множество пустое?

Да, аксиома регулярности это утверждает.

Vladimir Pliassov в сообщении #1614494 писал(а):

А что за аксиома BAFA? Я не понял из текста

Она упоминается в статье в википедии, на которую ссылались выше.
Грубо говоря, она утверждает, что любой ориентированный граф является графом принадлежности на некотором множестве. Т.е. не только есть множество $a$ такое что $a \in a$, но есть и набор множеств $a_i$, такие что $a_i \in a_j \leftrightarrow i|j$, и вообще произвольная комбинация.

Vladimir Pliassov в сообщении #1614494 писал(а):

Я имел в виду, что в теориях нефундированных множеств -- множеств, заменяющих аксиому регулярности на ее отрицание, то есть на аксиому $\exists a: a = \{a\}$ (может быть, не в чистом виде, но об этом), -- множество всех множеств, вероятно, может существовать

Нет, не может.
Точное утверждение такое: пусть $ZF'$ - теория, получающаяся выкидыванием из ZF аксиомы регулярности. Тогда $ZF' \vdash \forall x \esists y (y \not \in x)$. Т.е. в ZF можно даже без использования аксиомы регулярности опровергнуть существование множества всех множеств.

Vladimir Pliassov в сообщении #1614494 писал(а):

Почему же Вы говорите, что "несуществование множества всех множеств от аксиомы регулярности не зависит"?

Потому что предполагаю остальные аксиомы. Аксиома регулярности не очень-то нужна, а вот без аксиомы выделения получается настолько бедная теория, что я не вижу смысла о ней думать.

Vladimir Pliassov в сообщении #1614494 писал(а):

не значит, что несуществование не всякого множества, содержащего себя в качестве своего элемента, зависит от аксиомы регулярности

Это я уже прочитать не могу, надо писать формулами.

Вообще, когда говорят о независимости двух утверждений, эта независимость всегда предполагается в какой-то теории. В данном случае - утверждение о несуществовании множества всех множеств не зависит от аксиомы регулярности в ZF без аксиомы регулярности, потому что это несуществование выводится без аксиомы регулярности.

Я не очень понимаю, о чем вообще речь.
У нас есть ZF' - ZF без аксиомы регулярности. У нас есть F - аксиома регулярности. У нас есть M - утверждение о существовании множества всех множеств ($\exists x \forall y(y \in x)$). Известно, что $ZF' \nvdash F$, $ZF' \nvdash \neg F$, $ZF' \vdash \neg M$. О чём еще говорить?

[pppppppo_98]

mihaild в сообщении #1614246 писал(а):

Нету, и даже непонятно, что она значила бы.

конструктивизм она означает....то есть все множества должны быть построены на основе конечного числа действий из примитивов (правда вот непонятно что тогда делать с аксиомой-схемой индуктивности - этих же аксиом тогда бесконечное количество штук)

-- Ср окт 25, 2023 00:20:17 --

mihaild в сообщении #1614266 писал(а):

Множества вообще не строятся, про множества доказывается что они существуют.

Наверное таки классы, причем непустые

-- Ср окт 25, 2023 01:00:00 --

miflin в сообщении #1614359 писал(а):

(Оффтоп)

Лютый оффтоп от меня, который "на бабочку поэтиного сердца громоздится грязный, в калошах и без калош"...
Абсолютно не въезжаю в смысл темы, но почему в моём сознании разгорается всё сильнее классическое:
"может ли бог создать камень, который не сможет поднять"?

(Оффтоп)

Зачот

[mihaild]

pppppppo_98 в сообщении #1614565 писал(а):

то есть все множества должны быть построены на основе конечного числа действий из примитивов

А что такое, с точки зрения ZF, "конечное число действий"?

pppppppo_98 в сообщении #1614565 писал(а):

Наверное таки классы, причем непустые

Классов в ZF вообще нет.

[Vladimir Pliassov]

mihaild в сообщении #1614458 писал(а):

Vladimir Pliassov в сообщении #1614455 писал(а):

Кстати, в теориях с аксиомой $\exists a: a = \{a\}$ солдат может брить сам себя без проблем

Нет, проблемы никак с фундированностью не связаны.
Множество множеств, не содержащих себя в качестве элемента, существовать не может, для этого даже никаких содержательных аксиом не нужно, только логические.

mihaild в сообщении #1614460 писал(а):

Vladimir Pliassov в сообщении #1614459 писал(а):

Какие логические нужны?

Позволяющие провести следующее рассуждение:
$\exists x \forall y (y \in x \leftrightarrow y \not \in y)$
$\exists x (x \in x \leftrightarrow x \not \in x)$ (подстановка)
$\exists x \bot$ (определение $\not \in$ и логическая тавтология)
$\bot$

Как же Вы говорите, что проблемы бритья никак с фундированностью не связаны? Ведь проблема бритья -- "Брадобрей" -- это версия парадокса Рассела:

Цитата:

С одной стороны, если оно «обычное», то оно должно включать себя в качестве элемента, так как оно по определению состоит из всех «обычных» множеств. Но тогда оно не может быть «обычным», так как «обычные» множества — это те, которые себя не включают.

Остаётся предположить, что это множество «необычное». Однако оно не может включать себя в качестве элемента, так как оно по определению должно состоять только из «обычных» множеств. Но если оно не включает себя в качестве элемента, то это «обычное» множество. Википедия

в котором говорится о множестве, которое должно или не должно включать себя в качестве элемента, а из аксиомы фундирования (регулярности)

Цитата:

и аксиомы пары можно вывести следствия «Никакое множество не является элементом самого себя» Википедия

.
И сами Вы в Вашем логическом рассуждении используете выражения $x \in x$ и $x \not \in x$, имеющие отношение к аксиоме фундирования.

[mihaild]

Нет понятия "использовать выражения, имеющие отношения к аксиоме", есть понятие "использовать аксиому". Аксиому фундирования я не использую.

Аксиома фундирования говорит, что все множества обычные. Но рассуждение Рассела и без опоры на неё показывает, что конкретно множество всех необычных множеств, если бы оно существовало, обязательно было бы обычным.
Есть довольно много множеств, фундированность которых можно доказать и без аксиомы фундирования. Собственно любое множество, которое получается из натуральных чисел с помощью стандартных операций, фундировано.