Множество, элементом которого является оно само

[Vladimir Pliassov]

Цитата:

На неформальном языке парадокс можно описать следующим образом. Условимся называть множество «обычным», если оно не является своим собственным элементом. Например, множество всех людей является «обычным», так как само множество — не человек. Примером «необычного» множества является множество всех множеств, так как оно само является множеством, а следовательно, само является собственным элементом[2].

Можно рассмотреть множество, состоящее только из всех «обычных» множеств, такое множество называется ра́сселовским мно́жеством. Парадокс возникает при попытке определить, является ли это множество «обычным» или нет, то есть содержит ли оно себя в качестве элемента. Есть две возможности.

С одной стороны, если оно «обычное», то оно должно включать себя в качестве элемента, так как оно по определению состоит из всех «обычных» множеств. Но тогда оно не может быть «обычным», так как «обычные» множества — это те, которые себя не включают.
Остаётся предположить, что это множество «необычное». Однако оно не может включать себя в качестве элемента, так как оно по определению должно состоять только из «обычных» множеств. Но если оно не включает себя в качестве элемента, то это «обычное» множество.

В любом случае получается противоречие.

Википедия.

Мне кажется, что прежде чем решать вопрос, содержит ли себя в качестве своего элемента ра́сселовское мно́жество, надо решить вопрос, может ли, вообще, множество содержать себя в качестве своего элемента.

$\lhd$ Пусть существует одноэлементное множество $\{a\}$, элементом которого является оно само, тогда $a=\{a\}=\big \{\{a\}\big \}=\Big \{\big \{\{a\}\big \}\Big \}=\ldots \; ,$ таким образом, это множество невозможно определить, откуда следует, что оно не существует. $\rhd$

Правильно?

[Утундрий]

Vladimir Pliassov в сообщении #1614165 писал(а):

это множество невозможно определить

Как же невозможно, когда сами же определили (как множество, единственным элементом которого является оно само). Его, возможно, невозможно построить/осознать/отварить и т.д. Но определить - очень даже возможно.

[dgwuqtj]

Вообще явно определить все существующие множества нельзя, текстов для определений лишь счётное количество. Но это неформально.

[EminentVictorians]

Vladimir Pliassov в сообщении #1614165 писал(а):

Мне кажется, что прежде чем решать вопрос, содержит ли себя в качестве своего элемента ра́сселовское мно́жество, надо решить вопрос, может ли, вообще, множество содержать себя в качестве своего элемента.

Когда мы рассматриваем парадокс Рассела, мы находимся в совсем наивной теории множеств. В ней любая совокупность - множество. Ну я возьму и скажу так:

Пусть $M$ - множество всех множеств.
$M$ само является множеством, а значит $M \in M$.

Хотели множество, которое является своим элементом? Вот оно - множество $M$.

Утундрий в сообщении #1614167 писал(а):

Как же невозможно, когда сами же определили (как множество, единственным элементом которого является оно само).

Забавно, что даже если заменить "его невозможно определить" на "следовательно, такое множество не существует", то все равно будет неверно. А вдруг найдется множество $a$, для которого вся эта цепочка равенств выполняется? Ну да, будет выполняться $a \in a$, и что? Аксиомы регулярности-то нету.

[Vladimir Pliassov]

Утундрий в сообщении #1614167 писал(а):

Как же невозможно, когда сами же определили (как множество, единственным элементом которого является оно само). Его, возможно, невозможно построить/осознать/отварить и т.д. Но определить - очень даже возможно.

Да, правда, это я не подумал, ведь, если не ошибаюсь, определить можно все что угодно, например, четырехугольный треугольник: просто сказать, что это треугольник, у которого четыре угла, -- хотя с такими определениями несуществующих объектов надо бы разобраться.

Но если переделать доказательство:

$\lhd$ Пусть существует одноэлементное множество $\{a\}$, элементом которого является оно само, тогда $a=\{a\}=\big \{\{a\}\big \}=\Big \{\big \{\{a\}\big \}\Big \}=\ldots \; ,$ таким образом, это множество невозможно построить, откуда следует, что оно не существует. $\rhd$ ?

Здесь желательно более ясно показать, что это множество невозможно построить, надеюсь показать это чуть ниже.

А верно ли, что из того, что множество невозможно построить, следует, что оно не существует?

Вот еще одно определение, как я понимаю, несуществующего объекта:

EminentVictorians в сообщении #1614169 писал(а):

Пусть $M$ - множество всех множеств.
$M$ само является множеством, а значит $M \in M$.

Хотели множество, которое является своим элементом? Вот оно - множество $M$.

EminentVictorians в сообщении #1614169 писал(а):

А вдруг найдется множество $a$, для которого вся эта цепочка равенств выполняется? Ну да, будет выполняться $a \in a$, и что?

Я думаю, что не будет выполняться, то есть что не существует множества $a:a \in a$, и попробую это доказать.

Но для этого понадобится либо аксиома, либо доказанное утверждение: "построить что-то можно только из того, что уже существует". Не знаю, есть ли такая аксиома или такое доказанное утверждение, но буду базироваться на ней (на нем).

$\lhd$ Любое множество, кроме пустого, строится из уже существующих объектов, поэтому для того, чтобы быть построенным из себя самого, множество еще до этого построения должно уже быть построено (должно существовать еще до этого построения), таким образом, оно не может быть построено. $\rhd$

(Я имею в виду, что множество строится из объектов, и они при этом становятся его элементами.)

EminentVictorians в сообщении #1614169 писал(а):

Ну да, будет выполняться $a \in a$, и что? Аксиомы регулярности-то нету.

Почему Вы говорите, что ее нет? Она ведь есть, и

Цитата:

Из аксиомы регулярности и аксиомы пары можно вывести следствия «Никакое множество не является элементом самого себя» и «Не существует бесконечной последовательности множеств, где каждое следующее является элементом предыдущего».

Википедия.

(то есть выводится то же, что и я пытаюсь вывести, но на других основаниях).

dgwuqtj в сообщении #1614168 писал(а):

Вообще явно определить все существующие множества нельзя, текстов для определений лишь счётное количество.

А если к существующим множествам добавить еще и несуществующие, то тем более.

[EminentVictorians]

Vladimir Pliassov в сообщении #1614190 писал(а):

А верно ли, что из того, что множество невозможно построить, следует, что оно не существует?

Если речь про максимально наивную теорию множеств, то неверно. Прежде чем "строить" множества, необходимо договориться о законных средствах построения. И если Вы потом хотите объявить существующими только те множества, которые Вы построили, то это уже не наивная теория множеств. Конечно, тут есть момент, что даже в наивной теории множеств можно объявить некорректно определенными те множества, которые привели к противоречию. Тогда расселовское множество будет таким некорректно определенным. Но вот, например, множество всех разрешимых групп будет корректно определенным множеством в наивной теории множеств (пока мы не наткнемся на противоречие, связанное с ним; а я таких не знаю). Но обычно вроде бы даже этого не делают.

Vladimir Pliassov в сообщении #1614190 писал(а):

Я думаю, что не будет выполняться, то есть что не существует множества $a:a \in a$, и попробую это доказать.

Так я же привел пример. Пусть $a$ - множество всех множеств. Тогда $a \in a$.

Vladimir Pliassov в сообщении #1614190 писал(а):

Почему Вы говорите, что ее нет? Она ведь есть, и

Цитата:

Из аксиомы регулярности и аксиомы пары можно вывести следствия «Никакое множество не является элементом самого себя» и «Не существует бесконечной последовательности множеств, где каждое следующее является элементом предыдущего».

Википедия.

(то есть выводится то же, что и я пытаюсь вывести, но на других основаниях).

В наивной теории множеств аксиомы регулярности нету. Если у Вас есть эта аксиома - у Вас уже не совсем наивная теория множеств

[Vladimir Pliassov]

EminentVictorians в сообщении #1614195 писал(а):

Vladimir Pliassov в сообщении #1614190 писал(а):

Я думаю, что не будет выполняться, то есть что не существует множества $a:a \in a$, и попробую это доказать.

Так я же привел пример. Пусть $a$ - множество всех множеств. Тогда $a \in a$.

Вот для множества всех множеств и не будет выполняться -- если, конечно, мне удалось доказать, что не существует множества $a:a \in a$ (множество всех множеств является одним из своих элементов).

Кстати, доказывал я без аксиомы регулярности и аксиомы пары. Не знаю, удалось ли доказать.

[mihaild]

Vladimir Pliassov в сообщении #1614190 писал(а):

Не знаю, есть ли такая аксиома или такое доказанное утверждение, но буду базироваться на ней (на нем).

$\lhd$ Любое множество, кроме пустого, строится из уже существующих объектов

Нету, и даже непонятно, что она значила бы.

Vladimir Pliassov в сообщении #1614230 писал(а):

Кстати, доказывал я без аксиомы регулярности и аксиомы пары. Не знаю, удалось ли доказать

Нет, и не удастся. Доказано, что аксиома регулярности не зависит от остальных аксиом ZFC, т.е. доказать её в "ZFC без аксиомы регулярности" не получится.

[Vladimir Pliassov]

mihaild в сообщении #1614246 писал(а):

Vladimir Pliassov в сообщении #1614230 писал(а):

Кстати, доказывал я без аксиомы регулярности и аксиомы пары. Не знаю, удалось ли доказать

Нет, и не удастся. Доказано, что аксиома регулярности не зависит от остальных аксиом ZFC, т.е. доказать её в "ZFC без аксиомы регулярности" не получится.

Но я доказывал, что не существует множества $a:a \in a$, не в ZFC (я пока еще только знакомлюсь с этой системой), а просто исходя из здравого смысла (я понимаю, что это по-любительски, но делаю, что могу):

$\lhd$ Любое множество, кроме пустого, строится из уже существующих объектов, поэтому для того, чтобы быть построенным из себя самого, множество еще до этого построения должно уже быть построено (должно существовать еще до этого построения), таким образом, оно не может быть построено. $\rhd$

Можете Вы опровергнуть это доказательство, если исходить из утверждения: "построить что-то можно только из того, что уже существует"?

mihaild в сообщении #1614246 писал(а):

Vladimir Pliassov в сообщении #1614190 писал(а):

Не знаю, есть ли такая аксиома

Нету, и даже непонятно, что она значила бы.

Я уже после того, как выложил доказательство, нашел это утверждение (в несколько другой форме) в https://ikfia.ysn.ru/wp-content/uploads ... 1966ru.pdf, стр. 18:

Цитата:

Пробуя доказать существование парадоксального (расселовского) множества, он (внимательный читатель) убедится, что такое доказательство не проходит: соответствующий принцип выделения ... позволяет доказать существование множества элементов, удовлетворяющих данному условию, лишь в том случае, если это множество есть подмножество уже полученного ранее множества.

[mihaild]

Vladimir Pliassov в сообщении #1614258 писал(а):

Можете Вы опровергнуть это доказательство, если исходить из утверждения: "построить что-то можно только из того, что уже существует"?

Исходя из этого утверждения, сделать ничего нельзя, потому что непонятно, что оно значит. Множества вообще не строятся, про множества доказывается что они существуют.

Vladimir Pliassov в сообщении #1614258 писал(а):

Я уже после того, как выложил доказательство, нашел это утверждение (в несколько другой форме)

Это совершенно другое утверждение, которое как раз понятно: для каждого множества $A$ и предиката $P$, существует множество $\{ x \in A | P(x)\}$. Тут никаких построений или "уже существует".

[Den.R.]

Аксиома регулярности (фундирования) не имеет отношения к ZFC, потому что все множества упорядочены и имеют в основании пустое. Это же элементарно. В этой теории просто не видно никаких других множеств (считай не существует, невозможно построить из формул и т.п.).
В частности, необоснованных множеств. Потому что последние, по своей природе, не имеют основания.
Мне, например, всегда представлялось, что мир полон необоснованных множеств. Их так много, что сравнение действительных и счетных, просто ни о чем.
Наличие в реальном мире пустого множества - еще более дикая фантазия, чем наличие необоснованных множеств. Это сродни попыткам найти эфир, теплород, флогистон, философский камень... самое-самое, религиозное..
Может оно и есть, но добраться до него, научными методами, совершенно невозможно.

[mihaild]

Den.R. в сообщении #1614268 писал(а):

Аксиома регулярности (фундирования) не имеет отношения к ZFC

Это неправда. Как правило аксиома регулярности включается в список аксиом ZFC. Возможно где-то есть изложения, где не включается, но я таких не встречал. У Куратовского и Мостовского строится теория множеств без аксиомы регулярности, но они тоже пишут, что обычно она включается.

Den.R. в сообщении #1614268 писал(а):

потому что все множества упорядочены

Что это значит?

Den.R. в сообщении #1614268 писал(а):

и имеют в основании пустое

А это?

Den.R. в сообщении #1614268 писал(а):

необоснованных множеств

Откуда термин?

Den.R. в сообщении #1614268 писал(а):

Наличие в реальном мире пустого множества

Бессмысленная фраза. Математические объекты в реальном мире не встречаются вообще.

[epros]

Vladimir Pliassov в сообщении #1614258 писал(а):

Но я доказывал, что не существует множества $a:a \in a$, не в ZFC (я пока еще только знакомлюсь с этой системой), а просто исходя из здравого смысла (я понимаю, что это по-любительски, но делаю, что могу)

Нефундированные множества

[tolstopuz]

На мой взгляд, представление множеств в виде направленных графов (Aczel) достаточно интуитивно: если циклы недопустимы, то это стандартная теория множеств, если допустимы, то без аксиомы регулярности.

[miflin]

(Оффтоп)

Лютый оффтоп от меня, который "на бабочку поэтиного сердца громоздится грязный, в калошах и без калош"...
Абсолютно не въезжаю в смысл темы, но почему в моём сознании разгорается всё сильнее классическое:
"может ли бог создать камень, который не сможет поднять"?