Лимит функций

[Neytrall]

ААА слепец. Да вы правы там 2 икса.

а как доказать вторую часть?

[TOTAL]

Сомик писал(а):

что означает $o(t)$ "о малое от t" вы знаете ?

Капитально так заедает.

[Сомик]

TOTAL в сообщении #161484 писал(а):

Сомик писал(а):
Дальше воспользоваться соотношением $(1+t)^k = 1 + kt + o(t^2)$
Будут вопросы - пишите. Wink

Вопрос: это разве верное соотношение?

А что вас смущает?

[ewert]

а теперь надо решить неравенство $\left|\sqrt{x^2+x+2}-x-{1\over2}\right|<0.001$. Оно действительно решается достаточно шаблонно, хотя это и некоторая морока.

[Really]

Сомик в сообщении #161489 писал(а):

А что вас смущает ?

Буква $o$.

[TOTAL]

Сомик писал(а):

TOTAL в сообщении #161484 писал(а):

Сомик писал(а):
Дальше воспользоваться соотношением $(1+t)^k = 1 + kt + o(t^2)$
Будут вопросы - пишите. Wink

Вопрос: это разве верное соотношение?

А что вас смущает ?

$\frac{(1+t)^k - (1 + kt)}{t^2}$ разве стремится к нулю при стремлении $t$ к нулю?

[Сомик]

Really писал(а):

Сомик в сообщении #161489 писал(а):

А что вас смущает ?

Буква $o$.

Пардон ... Конечно $O(t^2)$

Добавлено спустя 1 минуту 39 секунд:

TOTAL писал(а):

Сомик писал(а):

TOTAL в сообщении #161484 писал(а):

Сомик писал(а):
Дальше воспользоваться соотношением $(1+t)^k = 1 + kt + o(t^2)$
Будут вопросы - пишите. Wink

Вопрос: это разве верное соотношение?

А что вас смущает ?

$\frac{(1+t)^k - (1 + kt)}{t^2}$ разве стремится к нулю при стремлении $t$ к нулю?

Нет... к $-1/8$

[Neytrall]

неравенство должно быть меньше эпсилона. А потом надо проверить его , когда эпси=0.001

[ewert]

Neytrall в сообщении #161494 писал(а):

неравенство должно быть меньше эпсилона. А потом надо проверить его , когда эпси=0.001

Нет. Поскольку Вам задан вполне конкретный эпсилон, именно его и надо с самого начала подставить в неравенство.

[Сомик]

ewert в сообщении #161490 писал(а):

а теперь надо решить неравенство $\left|\sqrt{x^2+x+2}-x-{1\over2}\right|<0.001$. Оно действительно решается достаточно шаблонно, хотя это и некоторая морока.

На самом деле

$$\sqrt{x^2+x+2} = \sqrt{x^2+x+1/4+3/4} = \sqrt{(x+1/2)^2+3/4} > \sqrt{(x+1/2)^2} = x+1/2$$

при $x>-1/2$. Поэтому модуль можно убрать. Получаем $\sqrt{x^2+x+2} < x+1/2+0.001$. Квадратное неравенство на $x$

[Neytrall]

А как тогда это делать? Я не смог избавится от корня.

[ewert]

Сомик писал(а):

ewert в сообщении #161490 писал(а):

а теперь надо решить неравенство $\left|\sqrt{x^2+x+2}-x-{1\over2}\right|<0.001$. Оно действительно решается достаточно шаблонно, хотя это и некоторая морока.

На самом деле

$$\sqrt{x^2+x+2} = \sqrt{x^2+x+1/4+3/4} = \sqrt{(x+1/2)^2+3/4} > \sqrt{(x+1/2)^2} = x+1/2$$

при $x>-1/2$. Поэтому модуль можно убрать. Получаем $\sqrt{x^2+x+2} < x+1/2+0.001$. Квадратное неравенство на $x$

Явный перебор. Оно и так квадратное -- и даже линейное, после раскрытия модуля и возведения в квадрат. Всё, что нужно дополнительно учитывать (чтоб не мучаться) -- это что иксы по смыслу задачи положительны.

[TOTAL]

Neytrall писал(а):

А как тогда это делать? Я не смог избавится от корня.

Не возвести ли обе части в куб?

[Сомик]

Neytrall в сообщении #161499 писал(а):

А как тогда это делать? Я не смог избавится от корня.

Возвести обе части $\sqrt{x^2+x+2} < x + 1/2 + 0.001$ в квадрат. На самом деле, если просят найти $K$, то фактически нужно решить уравнение $\sqrt{K^2+K+2} = K + 1/2 + 0.001$ получаем $K^2 + K +2 = K^2 + 2*K*(1/2+0.001) + (1/2+0.001)^2$

Добавлено спустя 1 минуту 56 секунд:

TOTAL писал(а):

Neytrall писал(а):

А как тогда это делать? Я не смог избавится от корня.

Не возвести ли обе части в куб?

... и потом еще в возвести $2/3$ степень...

[Neytrall]

не это не то. Мы делаем это другим путём.