В определении предела по Коши δ - функция от ε или нет?

[msv1978]

Здравствуйте!
Раньше никогда не задумывался над этим.

Фрагмент из определения предела функции по Коши:
"Значение $A$ называется пределом (предельным значением) функции $f(x)$ в точке $x_0$, если для любого положительного числа $\varepsilon$ можно подобрать соответствующее ему положительное число $\delta = \delta(\varepsilon)$ такое, что... "

То, что $\delta = \delta(\varepsilon)$, обычно опускают. Пишут "если для любого положительного числа $\varepsilon$ можно подобрать соответствующее ему положительное число $\delta$".

Вопрос: $\delta$ является функцией от $\varepsilon$ или зависимостью, но не функцией? То есть - как правильно читать (трактовать) выражение $\delta = \delta(\varepsilon)$?

Если $\delta$ является функцией, то с этим можно поспорить. Исходя из определения функции, каждому значению аргумента должно соответствовать единственное значение функции. Но, например, для константных функций для $\varepsilon$ можно найти бесконечное число значений $\delta$.

Заранее спасибо за ответы!

[Ende]

Тема перемещена из форума «Дискуссионные темы (М)» в форум «Карантин»
по следующим причинам:

- четко сформулируйте в стартовом сообщении вопрос, который задаете;
- даже небольшие обозначения вроде f(x) нужно набрать как формулы (краткие инструкции: «Краткий FAQ по тегу [math]» и видеоролик Как записывать формулы);
- приведите собственные содержательные попытки ответа на вопрос.

Исправьте все Ваши ошибки и сообщите об этом в теме Сообщение в карантине исправлено.
Настоятельно рекомендуется ознакомиться с темами Что такое карантин и что нужно делать, чтобы там оказаться и Правила научного форума.

[Ende]

Тема перемещена из форума «Карантин» в форум «Помогите решить / разобраться (М)»
Причина переноса: не указана.

[Anton_Peplov]

msv1978 в сообщении #1614741 писал(а):

Если $\delta$ является функцией, то с этим можно поспорить. Исходя из определения функции, каждому значению аргумента должно соответствовать единственное значение функции. Но, например, для константных функций (имеющих предел) для $\varepsilon$ можно найти бесконечное число значений $\delta$.

Для любых функций (имеющих предел) для $\varepsilon$ можно найти бесконечное число значений $\delta$. Поскольку, если нужному условию удовлетворяет некоторая $\delta > 0$, ему удовлетворяет и любая $\delta'$ такая, что $\delta > \delta' > 0$. Но в определении предела нас интересует только, чтобы для данного $\varepsilon$ существовала хотя бы одна подходящая $\delta > 0$. То, что их бесконечно много, ни на что не влияет.

Поскольку для каждого эпсилона бесконечно много подходящих дельт, то, разумеется, можно построить и бесконечно много функций $\varepsilon \to \delta$. Только их никто не строит, потому что незачем.

[msv1978]

Anton_Peplov в сообщении #1614752 писал(а):

msv1978 в сообщении #1614741 писал(а):

Если $\delta$ является функцией, то с этим можно поспорить. Исходя из определения функции, каждому значению аргумента должно соответствовать единственное значение функции. Но, например, для константных функций (имеющих предел) для $\varepsilon$ можно найти бесконечное число значений $\delta$.

Для любых функций (имеющих предел) для $\varepsilon$ можно найти бесконечное число значений $\delta$. Поскольку, если нужному условию удовлетворяет некоторая $\delta > 0$, ему удовлетворяет и любая $\delta'$ такая, что $\delta > \delta' > 0$. Но в определении предела нас интересует только, чтобы для данного $\varepsilon$ существовала хотя бы одна подходящая $\delta > 0$. То, что их бесконечно много, ни на что не влияет.

Поскольку для каждого эпсилона бесконечно много подходящих дельт, то, разумеется, можно построить и бесконечно много функций $\varepsilon \to \delta$. Только их никто не строит, потому что незачем.

Согласен с Вашими рассуждениями.
Но тогда читать выражение "$\delta = \delta(\varepsilon)$" $\delta(\varepsilon)$ как "дельта, являющееся функцией от эпсилон" - неверно? Нужно читать - "дельта, зависимое от эпсилон"?

P.S. Погуглил англоязычные форумы, вот, например, https://math.stackexchange.com/question ... of-epsilon
Там участник Cameron Williams считает, что для константной функции $\delta$ вообще не имеет зависимости от $\varepsilon$.
Но, как известно, предел функции-константы существует и равен самой константе.
P.P.S. Сам я сомневаюсь насчет правильности суждения Cameron Williams, так как для константной функции мы сами условились о зависимости: при любом аргументе функция равна константе, то есть зависимость - присутствует.

[Anton_Peplov]

msv1978 в сообщении #1614769 писал(а):

Нужно читать - "дельта, зависимое от эпсилон"?

Обычно читают и пишут "дельта, вообще говоря, зависящая от эпсилон". О функциях не говорит никто и никогда. И, разумеется, поскольку на каждый эпсилон много дельт, все эти дельты не запихнешь в одну функцию.

Вообще, все эти скобочки и слова про зависимость призваны подчеркнуть лишь тот простой факт, что у каждого эпсилона своя дельта, а универсальной дельты, подходящей для всех эпсилонов сразу, может и не найтись. Больше никаких глубоких смыслов там нет. На самом деле этот факт передается порядком кванторов: "для каждого $\varepsilon > 0$ существует $ \delta > 0$ такая, что..." а не "существует $ \delta > 0$ такая, что для каждого $\varepsilon > 0$...", так что скобки и слова про зависимость можно вообще убрать без ущерба для смысла. Но чтобы облегчить студентам понимание, их пишут.

[msv1978]

Anton_Peplov в сообщении #1614772 писал(а):

msv1978 в сообщении #1614769 писал(а):

Нужно читать - "дельта, зависимое от эпсилон"?

Обычно читают и пишут "дельта, вообще говоря, зависящая от эпсилон". О функциях не говорит никто и никогда. И, разумеется, поскольку на каждый эпсилон много дельт, все эти дельты не запихнешь в одну функцию.

Вообще, все эти скобочки и слова про зависимость призваны подчеркнуть лишь тот простой факт, что у каждого эпсилона своя дельта, а универсальной дельты, подходящей для всех эпсилонов сразу, может и не найтись. Больше никаких глубоких смыслов там нет. На самом деле этот факт передается порядком кванторов: "для каждого $\varepsilon > 0$ существует $ \delta > 0$ такая, что..." а не "существует $ \delta > 0$ такая, что для каждого $\varepsilon > 0$...", так что скобки и слова про зависимость можно вообще убрать без ущерба для смысла. Но чтобы облегчить студентам понимание, их пишут.

Антон, благодарю Вас за ответы! Вы - преподаватель матана в ВУЗе?

[Anton_Peplov]

msv1978 в сообщении #1614774 писал(а):

благодарю Вас за ответы

Пожалуйста.

msv1978 в сообщении #1614774 писал(а):

Андрей

На этом форуме принято обращаться по никам (чтобы воспроизвести ник, нажмите на него мышкой). Кроме того,в моем нике нет имени "Андрей".

Цитата:

Сентиментальная леди, прогуливаясь с молодым человеком по лесу, остановилась перед большим деревом.
- Прекрасный вяз, - проговорила она, - чтобы ты сказал мне, если бы умел говорить?
- Наверное, он сказал бы: ``Прошу прощения, но я дуб``, - заметил ее спутник.

msv1978 в сообщении #1614774 писал(а):

Вы - преподаватель матана в ВУЗе?

Нет. Просто я знаком с азами матана. Преподаватели у нас на форуме есть. Если Вы хотите получить ответ именно преподавателя, то подождите. Но он скажет Вам то же самое другими словами.

[msv1978]

Антон, извините, исправился.
Вы настолько доходчиво объясняете, что я подумал, что Вы - преподаватель по профессии.
Хотя, когда я учился в институте - далеко не все преподаватели стали бы так "разжевывать" тему. Хорошо, что появился Интернет.

[talash]

Здесь есть "разжёванное" определение с примерами. Параграф: Строгое определение предела функции.

В примерах получают функцию \delta(\varepsilon)$ и также показывается, что таких функций можно придумать бесконечно много. В итоге получается два неравенства. Из верности одного неравенства, должна следовать верность другого для любого положительного $\varepsilon$.

Ещё обращу внимание на такой волнующий меня нюанс. С виду может показаться, что для доказательства может понадобиться бесконечное количество операций. В самом деле, раз написано "для любого", то это нам нужно все значения проверить? Но нет, мы можем сделать этот вывод из вида получившихся аналитических выражений, например, там нигде нет знаменателей, которые могли бы обращаться в 0 при каком-либо положительном $\varepsilon$ и т.д. Таким образом, мы доказываем существование предела за конечное время.

[Padawan]

Определение предела можно дать так: $\lim\limits_{x\to x_0} f(x)=A$, если существует функция $\delta\colon (0, +\infty) \to (0, +\infty) $ такая, что для всех $\varepsilon >0$ и всех $x$ из условия $0<|x-x_0|<\delta(\varepsilon) $ следует $|f(x) -A|<\varepsilon$.
Или короче : $|f(x) -A|<\varepsilon$ как только $0<|x-x_0|<\delta(\varepsilon) $

-- Чт окт 26, 2023 19:25:38 --

В логике предикатов этот приём называется "функция Сколема"
Сколема функция (математическая энциклопедия)

[Mihr]

(К вопросу о значимости пробелов)

Anton_Peplov в сообщении #1614781 писал(а):

- Прекрасный вяз, - проговорила она, - чтобы ты сказал мне, если бы умел говорить?

- Чтобы я что-то сказал, - прошелестел дуб, - я должен уметь говорить.