Множество, элементом которого является оно само

[diletto]

Есть ли какие-то интересные результаты, которые получены без аксиомы регулярности и которыми было бы жалко жертвовать, введя эту аксиому раз и навсегда и забыв рефлексивные парадоксы как страшный сон?

[epros]

diletto в сообщении #1614387 писал(а):

введя эту аксиому раз и навсегда и забыв рефлексивные парадоксы как страшный сон?

Рефлексивные парадоксы существуют не из-за отсутствия аксиомы регулярности. Тот же парадокс Рассела совместно с утверждением об отсутствии множеств, принадлежащих сами себе, превращается в утверждение о противоречивости множества всех множеств.

[mihaild]

diletto в сообщении #1614387 писал(а):

Есть ли какие-то интересные результаты, которые получены без аксиомы регулярности

Вне теории множеств - насколько я знаю, нет, ни она, ни какие-то противоречащие ей замены, ничего интересного не дают.

diletto в сообщении #1614387 писал(а):

введя эту аксиому раз и навсегда и забыв рефлексивные парадоксы как страшный сон

Введение аксиомы не может уменьшить число противоречий, только увеличить.

[Утундрий]

miflin в сообщении #1614359 писал(а):

Абсолютно не въезжаю в смысл темы

Некоторые особо продвинутые математики изредка достигают таких высот продвинутости, с которых им открывается удивительный вид: всё висит в воздухе. Парализованный таким откровением математик, камнем падает в наивную теорию множеств и рефлекторно начинает вить фундамент. И пока какое-то подобие оного не совьёт - не взлетит.

[Vladimir Pliassov]

1.

Так как $a=\{a\}$, то мало того, что множество $a$ является своим элементом, так оно является еще и элементом своего элемента!

2.

mihaild в сообщении #1614266 писал(а):

Множества вообще не строятся, про множества доказывается что они существуют.

Если множества не строятся, то почему здесь:

Утундрий в сообщении #1614167 писал(а):

Как же невозможно, когда сами же определили (как множество, единственным элементом которого является оно само). Его, возможно, невозможно построить/осознать/отварить и т.д. Но определить - очень даже возможно.

говорится о построении множества $a:a=\{a\}=\big \{\{a\}\big \}=\Big \{\big \{\{a\}\big \}\Big \}=\ldots \; ?$ Здесь ведь не имеется в виду, что его (может быть) невозможно построить, потому что множества вообще не строятся? Наверное, имеется в виду, что вообще они строятся, но именно это множество (может быть) невозможно построить?

[mihaild]

Vladimir Pliassov в сообщении #1614419 писал(а):

Если множества не строятся, то почему здесь:

Утундрий в сообщении #1614167 писал(а):

Как же невозможно, когда сами же определили (как множество, единственным элементом которого является оно само). Его, возможно, невозможно построить/осознать/отварить и т.д. Но определить - очень даже возможно.

говорится о построении множества

Потому что это жаргон.

Есть некоторый (не очень хорошо в рамках классической логики) определенный способ доказательства существования множеств, называется "построение". Вот таким способом существование этого множества не доказывается. Но это не очень интересно, таких множеств много.

[Vladimir Pliassov]

mihaild в сообщении #1614422 писал(а):

Вот таким способом существование этого множества не доказывается.

Вы имеете в виду множество $a=\{a\}$? Но разве можно доказать его существование?

[mihaild]

Vladimir Pliassov в сообщении #1614425 писал(а):

Но разве можно доказать его существование?

Смотря в какой теории.
Например можно выкинуть из ZF аксиому регулярности, и добавить аксиому $\exists a: a = \{a\}$. Эта теория будет непротиворечива, и в ней существование такого множества доказывается.
В просто ZF с аксиомой регулярности (или без) не доказывается.

[diletto]

epros в сообщении #1614389 писал(а):

Рефлексивные парадоксы существуют не из-за отсутствия аксиомы регулярности. Тот же парадокс Рассела совместно с утверждением об отсутствии множеств, принадлежащих сами себе, превращается в утверждение о противоречивости множества всех множеств.

Противоречивость множества всех множеств - это то же самое, что несуществование множества всех множеств? Если да, то отчего бы с нею не согласиться?

-- 24.10.2023, 05:24 --

mihaild в сообщении #1614402 писал(а):

Введение аксиомы не может уменьшить число противоречий, только увеличить.

Обескуражен, долго медитировал и завис...
Это строгий и универсальный факт?

[Vladimir Pliassov]

mihaild в сообщении #1614429 писал(а):

Смотря в какой теории.
Например можно выкинуть из ZF аксиому регулярности, и добавить аксиому $\exists a: a = \{a\}$. Эта теория будет непротиворечива, и в ней существование такого множества доказывается.

Об этой теории говорится здесь:

epros в сообщении #1614289 писал(а):

Нефундированные множества

Спасибо за ссылку!

Здесь сказано:

Цитата:

Теории нефундированных множеств — это варианты аксиоматической теории множеств, которые позволяют множествам быть элементами самих себя и иным образом нарушают правило фундирования. В теориях нефундированных множеств аксиома регулярности (иначе аксиома фундирования, аксиома основания) ZFC заменяется аксиомами, подразумевающими ее отрицание.
...

В рамках этой структуры можно показать, что так называемый атом Куайна, формально определяемый как $Q=\{Q\}$, существует и уникален.

Каждая из приведенных выше аксиом расширяет универсум (?) предыдущего (универсума), так что: $V \subseteq A \subseteq S \subseteq F \subseteq B$. В универсуме (?) Боффа отдельные атомы Куайна образуют собственный класс.

Тут, правда, непонятно, почему говорится одновременно и об атоме Куайна $Q=\{Q\}$ как об уникальном объекте и об атомах Куайна -- во множественном числе, -- которые образуют собственный класс.

diletto в сообщении #1614441 писал(а):

Противоречивость множества всех множеств - это то же самое, что несуществование множества всех множеств? Если да, то отчего бы с нею не согласиться?

Как я теперь вижу, противоречивость множества всех множеств (которое, следовательно, является множеством, содержащим себя в качестве своего элемента) доказывается в одной теории и не доказывается в другой -- в зависимости от набора аксиом.

[Vladimir Pliassov]

Кстати, в теориях с аксиомой $\exists a: a = \{a\}$ солдат может брить сам себя без проблем. Помню, пару лет назад это бритье уже дискутировалось. Приведу одно сообщение из этой дискуссии:

Mikhail_K в сообщении #1522342 писал(а):

Vladimir Pliassov в сообщении #1522336 писал(а):

Когда солдат бреет сам себя, он распадается на две сущности: на бреющую и бреемую, -- не надо их смешивать, и все встанет на место.

А что может запретить нам их смешивать? Вы говорите, что "распадается", я говорю, что "не распадается". Как спорить будете?

Тогда я не мог ответить на этот вопрос, но теперь, я думаю, могу: запретить нам их смешивать может соответствующий набор аксиом: в теориях с аксиомой $\exists a: a = \{a\}$ "не распадается", а в теориях с аксиомой регулярности "распадается".

[mihaild]

diletto в сообщении #1614441 писал(а):

Это строгий и универсальный факт?

Да, хотя и очевидный.
Любое доказательство в теории $T$ одновременно является доказательством и в теории $T \cup T'$.

Vladimir Pliassov в сообщении #1614455 писал(а):

Тут, правда, непонятно, почему говорится одновременно и об атоме Куайна $Q=\{Q\}$ как об уникальном объекте и об атомах Куайна -- во множественном числе, -- которые образуют собственный класс.

Потому что там речь о разных аксиомах. Из A выводится, что он один, из B - что их довольно много.

Vladimir Pliassov в сообщении #1614452 писал(а):

Как я теперь вижу, противоречивость множества всех множеств (которое, следовательно, является множеством, содержащим себя в качестве своего элемента) доказывается в одной теории и не доказывается в другой -- в зависимости от набора аксиом.

Несуществование множества всех множеств от аксиомы регулярности не зависит, оно противоречит аксиоме выделения - о чем, собственно, парадокс Расселла.

Vladimir Pliassov в сообщении #1614455 писал(а):

Кстати, в теориях с аксиомой $\exists a: a = \{a\}$ солдат может брить сам себя без проблем

Нет, проблемы никак с фундированностью не связаны.
Множество множеств, не содержащих себя в качестве элемента, существовать не может, для этого даже никаких содержательных аксиом не нужно, только логические.

[Vladimir Pliassov]

mihaild в сообщении #1614458 писал(а):

Несуществование множества всех множеств от аксиомы регулярности не зависит

Множество всех множеств это множество, содержащее себя в качестве своего элемента.

Цитата:

Из аксиомы регулярности и аксиомы пары можно вывести следствия «Никакое множество не является элементом самого себя ... » Википедия

Это правда или неправда? Если правда, то несуществование множества всех множеств от аксиомы регулярности зависит.

mihaild в сообщении #1614458 писал(а):

Множество множеств, не содержащих себя в качестве элемента, существовать не может, для этого даже никаких содержательных аксиом не нужно, только логические.

Какие логические нужны?

[mihaild]

Vladimir Pliassov в сообщении #1614459 писал(а):

Множество всех множеств это множество, содержащее себя в качестве своего элемента

А вот оно с аксиомой регулярности существует, а без неё - не факт. Например, по приведённой Вами цитате выше, при принятии аксиомы BAFA - его не существует.

Vladimir Pliassov в сообщении #1614459 писал(а):

Это правда или неправда?

Правда. Попробуйте доказать, думаете можете справиться.

Vladimir Pliassov в сообщении #1614459 писал(а):

Если правда, то несуществование множества всех множеств от аксиомы регулярности зависит

Нет, не зависит. Из чего Вы делаете такой вывод?

Vladimir Pliassov в сообщении #1614459 писал(а):

Какие логические нужны?

Позволяющие провести следующее рассуждение:
$\exists x \forall y (y \in x \leftrightarrow y \not \in y)$
$\exists x (x \in x \leftrightarrow x \not \in x)$ (подстановка)
$\exists x \bot$ (определение $\not \in$ и логическая тавтология)
$\bot$

[Vladimir Pliassov]

mihaild в сообщении #1614460 писал(а):

Vladimir Pliassov в сообщении #1614459 писал(а):

Множество всех множеств это множество, содержащее себя в качестве своего элемента

А вот оно с аксиомой регулярности существует, а без неё - не факт. Например, по приведённой Вами цитате выше, при принятии аксиомы BAFA - его не существует.

По-моему, наоборот:

с аксиомой регулярности оно как раз не существует (потому что аксиома регулярности это почти прямое запрещение множества $a:a=\{a\}$, то есть множества, содержащего себя своим элементом, а множество всех множеств есть множество, содержащее себя своим элементом, то есть множество $a:a=\{a\}$),

а с "аксиомами, подразумевающими ее отрицание (отрицание аксиомы регулярности)", множество всех множеств, вероятно, может существовать (потому что является множеством, содержащим себя своим элементом).

Я, правда, не усвоил, что такое аксиома BAFA, может быть, дело в ней?

mihaild в сообщении #1614460 писал(а):

Vladimir Pliassov в сообщении #1614459 писал(а):

Если правда, то несуществование множества всех множеств от аксиомы регулярности зависит

Нет, не зависит. Из чего Вы делаете такой вывод?

1) (всякое) множество всех множеств это множество, содержащее себя в качестве своего элемента,

2) несуществование всякого множества, содержащего себя в качестве своего элемента, зависит от аксиомы регулярности:

Цитата:

Из аксиомы регулярности и аксиомы пары можно вывести следствия «Никакое множество не является элементом самого себя ... »

следовательно, несуществование (всякого) множества всех множеств зависит от аксиомы регулярности.