Интервалы между простыми числами.

[Батороев]

Получил вот такой результат (если нигде не соврал ):

Между числами $p_{t}$ и $(p_{t}\cdot k)= \dfrac{2\cdot (p_{t}+2)}{2-(\psi(t)-1)\cdot p_{t}}$
где
$\psi(t)=\dfrac {3}{\sqrt{7}}\cdot (p_{t}+2)\cdot \prod\limits_{i=1}^{t}\left(\dfrac{p_i^2}{(p_i-2)\cdot (p_i+2)}\right)$

$i$ - порядковый номер простого числа во множестве простых чисел,

должно существовать, как минимум, одно простое число.

[gris]

Мне показалось, что в произведении для пси возникает непонятное при $i=1$, ведь $p_1=2$
И $k$ не потерялось ли?
Вероятно, это связано с исследованием отношения
$k=\dfrac{p_{i+1}}{p_i}$.
Вроде бы, его максимум равен $5/3$, но я не знаю совсем теорию

[Батороев]

gris
Спасибо за замечание!
Забыл, что в расчетах использовал только нечетные простые числа, т.е. $i>1$.
Да, и сами расчеты вел не для минимальных чисел.
Что касается $k$, то $(p_{t}\cdot k)$ - это всего лишь "название числа" (может, и не удачное).
Извините!

[gris]

Ну что вы
Я почему-то подумал именно то, что произведение начинается с $i=2$ , и даже поиграл с формулами (попробовал сократить на $p_t+2$) и посмотрел на результаты немудрёных экспериментов на PARI/GP.
Тема очень интересная, и я внезапно обнаружил другие ваши темы (про примориалы и т.п.). Есть что почитать!

[Батороев]

gris
С интересом буду ждать результаты Ваших экспериментов!

[waxtep]

Батороев в сообщении #1614185 писал(а):

Между числами $p_{t}$ и $(p_{t}\cdot k)= \dfrac{2\cdot (p_{t}+2)}{2-(\psi(t)-1)\cdot p_{t}}$
где
$\psi(t)=\dfrac {3}{\sqrt{7}}\cdot (p_{t}+2)\cdot \prod\limits_{i=1}^{t}\left(\dfrac{p_i^2}{(p_i-2)\cdot (p_i+2)}\right)$

$\psi(t)$ выглядит довольно здоровым (больше $p_t+2$), и тогда в знаменателе получается что-то отрицательное. Нет ли опечатки?

[Батороев]

waxtep в сообщении #1614216 писал(а):

Нет ли опечатки?

Вы правы!

(Оффтоп)

Да, чтобы я, да без опечаток!!!

Спасибо, что обратили внимание!

Перепишу с учетом выявленных замечаний:
Между числами $p_{t}>17$ и $(p_{t}\cdot k)= \dfrac{2\cdot (p_{t}+2)}{2-(\psi(t)-1)\cdot p_{t}}$
где
$\psi(t)=\dfrac {3}{\sqrt{7}}\cdot \dfrac {(p_{t}+2)}{p_{t}}\cdot \prod\limits_{i=2}^{t}\left(\dfrac{p_i^2}{(p_i-2)\cdot (p_i+2)}\right)$
$p_{t}$ - отдельно стоящее простое число (т.е. не простое число-близнец).
$i$ - порядковый номер простого числа во множестве простых чисел,

должно существовать, как минимум, одно простое число.

[gris]

Если отдельно рассмотреть произведение, то можно его переписать в виде
$pro(t)= \prod\limits_{i=2}^{t}\left(\dfrac{p_i^2}{(p_i-2)\cdot (p_i+2)}\right)=\prod\limits_{i=2}^{t}\left(1+\dfrac{4}{(p_i^2-4)}\right)=\left(1+\dfrac{4}{5}\right)\cdot\left(1+\dfrac{4}{21}\right)\cdots$
Функция возрастающая и кажется имеющая предел .
Не $\approx 2.64$
тогда бы просто подставить в формулу для пси.
$(p_{t}\cdot k)= \dfrac{2\cdot (p_{t}+2)}{2-(3\cdot (p_{t}+2)/ p_{t}-1)\cdot p_{t}}= \dfrac{2p_{t}+4}{2-3p_{t}-6+ p_{t}}=-1$
Что-то не так у меня...

[waxtep]

Батороев в сообщении #1614237 писал(а):

Между числами $p_{t}>17$ и $(p_{t}\cdot k)= \dfrac{2\cdot (p_{t}+2)}{2-(\psi(t)-1)\cdot p_{t}}$
где
$\psi(t)=\dfrac {3}{\sqrt{7}}\cdot \dfrac {(p_{t}+2)}{p_{t}}\cdot \prod\limits_{i=2}^{t}\left(\dfrac{p_i^2}{(p_i-2)\cdot (p_i+2)}\right)$
$p_{t}$ - отдельно стоящее простое число (т.е. не простое число-близнец).
$i$ - порядковый номер простого числа во множестве простых чисел,

должно существовать, как минимум, одно простое число.

Все равно что-то не выходит, ведь $(p_{t}\cdot k)=\dfrac2{1-\frac3{\sqrt7}\prod(t)}$, где за $\prod(t)$ обозначил вот то произведение дробей $p_i^2/(p_i^2-4)$. Это всегда меньше нуля

[Батороев]

gris в сообщении #1614243 писал(а):

Не $\approx 2.64$

Похоже!


При этом вынужден признать, что уточнил коэффициент в $\psi$ и он должен быть не $\frac {3}{\sqrt {7}}$, а $0,38384555455010119076845940121878$. За что приношу новые извинения!
Т.е.
$\psi(t)=0,38384555455010119076845940121878\cdot \dfrac {(p_{t}+2)}{p_{t}}\cdot \prod\limits_{i=2}^{t}\left(\dfrac{p_i^2}{(p_i-2)\cdot (p_i+2)}\right)$

-- 23 окт 2023 03:09 --

waxtep

waxtep в сообщении #1614260 писал(а):

Все равно что-то не выходит, ведь $(p_{t}\cdot k)=\dfrac2{1-\frac3{\sqrt7}\prod(t)}$, где за $\prod(t)$ обозначил вот то произведение дробей $p_i^2/(p_i^2-4)$. Это всегда меньше нуля

У меня $(\psi (t)-1)$ приближается к нулю. А у Вас?

-- 23 окт 2023 03:29 --

У меня тоже принимает отрицательные значения.
Значит, я где-то просчитался. Беру паузу.

[gris]

решусь предложить поменять знаки в формуле:
$(p_{t}\cdot k)= \dfrac{2\cdot (p_{t}+2)}{2+(\psi(t)+1)\cdot p_{t}}$
Тогда теорема верна!

[waxtep]

gris в сообщении #1614282 писал(а):

решусь предложить поменять знаки в формуле:
$(p_{t}\cdot k)= \dfrac{2\cdot (p_{t}+2)}{2+(\psi(t)+1)\cdot p_{t}}$
Тогда теорема верна!

Ежели эту штуку воспринять как $k$, на который еще следует умножить $p_t$, кажется, получится что-то близкое к постулату Бертрана

[gris]

waxtep, мне кажется, что уважаемый Батороев это и имел в виду. То есть хотел уменьшить интервал $(p, 2p)$.
Судя по результатам натурных экспериментов можно предположить, что двушечка слишком уж великовата в качестве коэффициента, и, возможно, что в теории уже имеются более оптимистичные варианты даже для линейных функций в теоремах и гипотезах типа $\forall n\; \exists p \in \mathbb {P}:\; f(n) < p < g(n)$

+++ пока доступна правка (мало часа! ), поблагодарю Rak so dna за интересную статью и особенно за весёлую картинку.

[Rak so dna]

gris в сообщении #1614448 писал(а):

Судя по результатам натурных экспериментов можно предположить, что двушечка слишком уж великовата в качестве коэффициента, и, возможно, что в теории уже имеются более оптимистичные варианты

Здесь указывается интервал $\left(p,\frac98p\right)$ для $p>48$.

[vicvolf]

Батороев в сообщении #1614185 писал(а):

Между числами $p_{t}$ и $(p_{t}\cdot k)$ должно существовать, как минимум, одно простое число.

Это можно обобщить и взять натуральное $n$ вместо простого числа и вместо $k$ взять $1+\epsilon$. Тогда на основании известного закона о простых числах можно по $\epsilon$ подобрать $n$, что хотя бы одно простое число находилось между $n$ и $(1+\epsilon)n$.