Примененеие формулы Ньютона-Лейбница

[Verbery]

Всем привет! В учебниках часто вижу примененеие формулы Ньютона-Лейбница вот в такой форме:
$f(y) = f(x) + \int_0^1 f'(x + t (y - x))(y - x) dt$

Вот пример из учебника Нестерова:


Не могу понять как её вывести?
Пытаюсь вот так: переношу $f(x)$ в левую часть и выношу разность аргументов: $f(y) - f(x) = \int_0^1 f'(x + t (y - x))dt (y - x)$, затем уже интегрирую: $f(y) - f(x) = (f(y) - f(x))(y - x)$. В итоге получаю некорректное равенство, мешает $(y-x)$, что я делаю не так?

[mihaild]

Неправильно интегрируете. Как Вы интеграл считаете?
(проще всего ИМХО сделать замену $x + t(y - x) = z$)

[Verbery]

mihaild в сообщении #1614090 писал(а):

Как Вы интеграл считаете?

Так как интеграл это обратная функция к взятию производной, то я просто отбросил производную у $f$, а $(y - x)$ вытащил за знак инетграла, так как этот множитель не зависит от $t$

Да, как Вы говорите вроде всё получается, так как там этот $y - x$ уничтожися

[Утундрий]

При интегрировании по $t$ считаем $x$ и $y$ константами, поэтому $(y-x)dt=d\left[x+(y-x)t\right]$, что и вскрывает производную. Так что ничего никуда выносить не нужно.

[Verbery]

Утундрий в сообщении #1614097 писал(а):

При интегрировании по $t$ считаем $x$ и $y$ константами, поэтому $(y-x)dt=d\left[x+(y-x)t\right]$, что и вскрывает производную. Так что ничего никуда выносить не нужно.

Да, точно. Я неправильно проинтегрировал, посчитал $\int f'(x + (y - x)t) dt = f(x + (y - x)t)$, что неверно, так как там же у нас композиция функций. Спасибо