Еще раз об аксиоме выбора

[mihaild]

EminentVictorians в сообщении #1613883 писал(а):

Я просто примерно описал, в каком универсуме я нахожусь.

Вашим требованиям удовлетворяет множество наследственно конечных множеств:) (множества, записывающиеся конечной строкой в алфавите $\{\},\varnothing$)

EminentVictorians в сообщении #1613883 писал(а):

Но если коротко, я придерживаюсь такой позиции: если они в этом универсуме есть, я в них верю

Так Вы же не описали конкретный юниверсум, Вы их целую кучу описали:)

EminentVictorians в сообщении #1613883 писал(а):

А можно поподробнее, что это в точности означает?

Путь у нас есть $(X, \in_X)$ - модель (какой-то) теории множеств. И в ней есть некоторое множество $Y$. Тогда $Y$ называется стандартной относительно $X$ моделью теории множеств, если $(Y, \in_X)$ является моделью теории множеств.

epros в сообщении #1613884 писал(а):

Насколько я понимаю (хотя я могу понимать неправильно), сама постановка задачи игры Банаха-Мазура конструктивно бессмысленна

А в чем проблема? Понятно, что от стратегий надо требовать конструктивности, но вроде бы если у обоих игроков конструктивные стратегии, то получающаяся последовательность конструктивна, и вопрос о принадлежности конструктивной последовательности конструктивному множеству конструктивно осмысленен. Вопрос же о конструктивной детерменированности будет, видимо, как по конструктивной стратегии одного игрока найти выигрышную стратегию для другого.

[EminentVictorians]

mihaild в сообщении #1613887 писал(а):

Вашим требованиям удовлетворяет множество наследственно конечных множеств:) (множества, записывающиеся конечной строкой в алфавите $\{\},\varnothing$)

А давайте даже добавим аксиому, что множество всех наследственно конечных множеств является множеством. Я это так-то всегда подразумевал, но только сейчас понял, что это явно нигде не было сформулировано. Тогда, например, можно доказать существование множества натуральных чисел: они образуют подмножество множества наследственно конечных множеств, а значит тоже являются множеством (т.к. любое подмножество любого множества является множеством).

Все равно универсум не определяется однозначно?

-- 19.10.2023, 13:31 --

Кстати, если что, я подразумеваю, что у нас универсум состоит из всевозможных множеств, получающихся по правилам из списка аксиом. Так-то я понимаю, что можно найти "подкласс" этого универсума, который сам будет замкнут относительно всех операций. Но я-то имею в виду именно универсум всевозможных множеств.

[mihaild]

EminentVictorians в сообщении #1613900 писал(а):

А давайте даже добавим аксиому, что множество всех наследственно конечных множеств является множеством

Это сложно, потому что определить наследственную конечность сложно. Чем Вас не устраивает стандартная аксиома бесконечности (существует индуктивное множество)?

EminentVictorians в сообщении #1613900 писал(а):

Все равно универсум не определяется однозначно?

Нет. Теорема Гёделя же.

EminentVictorians в сообщении #1613900 писал(а):

Кстати, если что, я подразумеваю, что у нас универсум состоит из всевозможных множеств, получающихся по правилам из списка аксиом. Так-то я понимаю, что можно найти "подкласс" этого универсума, который сам будет замкнут относительно всех операций

Это непонятно. Если у нас есть подкласс, замкнутый относительно операций, то каким образом можно получить еще какие-то?

[EminentVictorians]

mihaild в сообщении #1613902 писал(а):

Это сложно, потому что определить наследственную конечность сложно.

Легко же. Просто правильно построенные множества в алфавите из скобок и пустого множества, или точнее, (по индукции), $\varnothing$ - наследственно конечное, и если $x_1, ... , x_n$ наследственно конечные, то и $\{x_1, ... , x_n\}$ - наследственно конечное.

mihaild в сообщении #1613902 писал(а):

EminentVictorians в сообщении #1613900 писал(а):

Кстати, если что, я подразумеваю, что у нас универсум состоит из всевозможных множеств, получающихся по правилам из списка аксиом. Так-то я понимаю, что можно найти "подкласс" этого универсума, который сам будет замкнут относительно всех операций

Это непонятно. Если у нас есть подкласс, замкнутый относительно операций, то каким образом можно получить еще какие-то?

Ой, да, ерунду написал. Давайте эту реплику забудем


И тем не менее. Неужели универсум правда не определится единственным образом? Просто это для меня как хук слева. У меня картина мира на этом базируется (я просто не очень понял про теорему Геделя, если честно)

[mihaild]

EminentVictorians в сообщении #1613906 писал(а):

Легко же. Просто правильно построенные множества в алфавите из скобок и пустого множества, или точнее, (по индукции)

Чтобы вводить определения по индукции, Вам уже нужны натуральные числа.

EminentVictorians в сообщении #1613906 писал(а):

И тем не менее. Неужели универсум правда не определится единственным образом?

Тут нужно сказать более формально, что происходит.
Пока что я понимаю так. Вы берете какую-то теорию множеств, добавляете туда константу $V$, аксиомы, что $V$ удовлетворяет выписанным Вам свойствам (видимо что просто в $V$ выполнены аксиомы ZFC), и что никакое собственное подмножество $V$ этим свойствам не удовлетворяет (тут будет проблема со схемой аксиом, но не очень большая, и вообще можно взять NBG вместо ZFC и всё будет хорошо). Так?
Ну вот в зависимости от того, какая у нас была исходная модель $M$, получатся сильно разные $V$.

[EminentVictorians]

mihaild в сообщении #1613908 писал(а):

Чтобы вводить определения по индукции, Вам уже нужны натуральные числа.

По-моему, нет. Здесь же обычная индукция по записям, такая же как, например, индукция по построению термов в матлогике. Она же никак не использует натуральные числа. Вот и здесь я думаю так же.

mihaild в сообщении #1613908 писал(а):

Пока что я понимаю так. Вы берете какую-то теорию множеств, добавляете туда константу $V$, аксиомы, что $V$ удовлетворяет выписанным Вам свойствам (видимо что просто в $V$ выполнены аксиомы ZFC), и что никакое собственное подмножество $V$ этим свойствам не удовлетворяет (тут будет проблема со схемой аксиом, но не очень большая, и вообще можно взять NBG вместо ZFC и всё будет хорошо). Так?

Да я просто имею некоторый предварительный запас множеств (все элементы и все подмножества множества наследственно конечных множеств) и потом образую новые множества из них по тем аксиомам, которые я написал выше. Неужели я не могу быть вне всех этих формалистских заморочек с выбором формальной теории множеств, исходной модели и всего такого?

-- 19.10.2023, 14:51 --

EminentVictorians в сообщении #1613911 писал(а):

Да я просто имею некоторый предварительный запас множеств (все элементы и все подмножества множества наследственно конечных множеств)

Точнее даже так: в предварительном запасе только множество наследственно конечных множеств. Множество подмножеств множества всех наследственно конечных множеств можно в предварительный запас не брать - оно и так существует по аксиоме существования булеана.

[mihaild]

EminentVictorians в сообщении #1613911 писал(а):

Здесь же обычная индукция по записям, такая же как, например, индукция по построению термов в матлогике

Использует. Собственно даже для определения, что такое строчка, нужны натуральные числа.

EminentVictorians в сообщении #1613911 писал(а):

Неужели я не могу быть вне всех этих формалистских заморочек с выбором формальной теории множеств, исходной модели и всего такого?

Не можете. Самострой в области теории множеств запрещен, Вы можете только набирать множества из уже (откуда-то) взявшихся. И результат будет зависеть, откуда Вы берете множества, причем полностью его контролировать не получится.

[epros]

mihaild в сообщении #1613887 писал(а):

А в чем проблема? Понятно, что от стратегий надо требовать конструктивности, но вроде бы если у обоих игроков конструктивные стратегии, то получающаяся последовательность конструктивна, и вопрос о принадлежности конструктивной последовательности конструктивному множеству конструктивно осмысленен. Вопрос же о конструктивной детерменированности будет, видимо, как по конструктивной стратегии одного игрока найти выигрышную стратегию для другого.

Не могу пока ничего сказать, потому что из того, что мне удалось слёту прочитать, непонятно определение игры. Кто-нибудь может привести внятную формулировку? Меня интересует, есть ли какие-то ограничения на размер выбираемых отрезков. Почему игрок не может первым же ходом выбрать отрезок нулевой длины - в той точке, которая обеспечит его выигрыш?

[mihaild]

epros в сообщении #1613918 писал(а):

Кто-нибудь может привести внятную формулировку?

На мой взгляд, для целей теории множеств (а не топологии) удобнее вообще забыть про вещественные числа, и считать, что у нас есть множество двоичных последовательностей, а игроки по очереди выписывают биты.

[epros]

mihaild в сообщении #1613920 писал(а):

На мой взгляд, для целей теории множеств (а не топологии) удобнее вообще забыть про вещественные числа, и считать, что у нас есть множество двоичных последовательностей, а игроки по очереди выписывают биты.

Хорошо, тогда следующий вопрос. Как определяется выигрыш? Конструктивная стратегия - это алгоритм определения хода при заданной информации о стратегиях других игроков. Как я понимаю, в данном случае информация о стратегии противника отсутствует, т.е. мы вынуждены предполагать, что его ход может быть любым. При конечном множестве ходов утверждение о наличии у первого игрока выигрышной стратегии звучало бы так: Существует такой первый ход, что для любого второго хода существует такой третий ход, ..., что в итоге получится выигрышный результат. К сожалению, при бесконечном количестве ходов нам пришлось бы сформулировать утверждение с бесконечным количеством кванторов, что невозможно.

[mihaild]

epros в сообщении #1613930 писал(а):

Конструктивная стратегия - это алгоритм определения хода при заданной информации о стратегиях других игроков

Я бы сказал, что это алгоритм определения хода при заданной ситуации.

epros в сообщении #1613930 писал(а):

Как определяется выигрыш?

Ага, вот тут, кажется, проблема.
Пара стратегий задает последовательность (алгоритм, который по номеру выдает бит), и дальше нам нужно проверить, принадлежит ли эта последовательность множеству. Но вроде бы единственное что тут можно сделать - это посмотреть на начало последовательности, поэтому допустимы только такие множества, что принадлежность как ему, так и его дополнению, определяется по префиксу. Ну а такие множества детерменированы, но неинтересны.

epros в сообщении #1613930 писал(а):

При конечном множестве ходов утверждение о наличии у первого игрока выигрышной стратегии звучало бы так: Существует такой первый ход, что для любого второго хода существует такой третий ход, ..., что в итоге получится выигрышный результат. К сожалению, при бесконечном количестве ходов нам пришлось бы сформулировать утверждение с бесконечным количеством кванторов

Тут ИМХО проблемы нет. Вместо кванторов по ходам берем квантор по стратегии второго игрока.

[EminentVictorians]

mihaild в сообщении #1613915 писал(а):

Использует. Собственно даже для определения, что такое строчка, нужны натуральные числа.

Мы же это тоже уже обсуждали. И кажется пришли к выводу, что в основании формализма лежит базовая интуиция работы со строками. Натуральные числа, если и есть, то только в метатеории. В конце концов, с Вашей точки зрения будет так, что чтобы определить саму ZFC, нужны натуральные числа. Но я считаю, что это не так.

mihaild в сообщении #1613915 писал(а):

Самострой в области теории множеств запрещен, Вы можете только набирать множества из уже (откуда-то) взявшихся.

Так у меня же все строго. У меня есть только одно множество, которое существует по аксиоме - множество всех наследственно конечных множеств. Все остальные множества я строю по тем аксиомам, что я привел на первой странице темы. (Ну там, в частности, первая аксиома будет, очевидно, лишней: пустое множество принадлежит множеству наследственно конечных, а оно само принадлежит универсуму, следовательно и пустое множество принадлежит универсуму; но это все мелочи).

Просто тут, по-моему, недопонимание с уровнями формализации. На мой взгляд, парадоксы в математике возникли не от того, что люди вместо формальных теорий пользовались неформальными (т.е. вместо простыней из кванторов, скобок, стрелок и т.д. просто разговаривали словами естественного языка). Так вот, я считаю, что парадоксы возникли не от этого, а от того, что люди не умели строить множества. А у меня с этим все в порядке. Есть конкретные правила построения множеств. Так что я "самостроя" не вижу.

[mihaild]

EminentVictorians в сообщении #1613933 писал(а):

В конце концов, с Вашей точки зрения будет так, что чтобы определить саму ZFC, нужны натуральные числа

Даже чтобы определить исчисление предикатов, нужны натуральные числа. Ну или строки. В общем что-то нужно.
А дальше вопрос, в чем мы что определяем.

EminentVictorians в сообщении #1613933 писал(а):

У меня есть только одно множество, которое существует по аксиоме - множество всех наследственно конечных множеств

"Где" оно есть?

EminentVictorians в сообщении #1613933 писал(а):

Все остальные множества я строю

Строить множества нельзя. Запрещено.
Можно только потребовать, чтобы Вас отвели в место, где нужные Вам множества уже построены. Но там легко может оказаться построено что-то еще, чего Вы не хотели, но запретить такое у Вас не получится. Более точно, если нужный Вам юниверсум где-то есть, то рядом с ним есть и не очень нужный Вам юниверсум, но отличить их Вы не сможете.

EminentVictorians в сообщении #1613933 писал(а):

Так вот, я считаю, что парадоксы возникли не от этого, а от того, что люди не умели строить множества

Парадоксы (точнее противоречия; парадоксами называют и совершенно нормальные утверждения) возникают из-за либо ошибок в рассуждениях, либо плохих аксиоматик. Формализация помогает с первым, и где-то помогает, а где-то, наоборот, мешает со вторым.

EminentVictorians в сообщении #1613933 писал(а):

Есть конкретные правила построения множеств

Это не правила построения, это требования к готовой конструкции.

[epros]

mihaild в сообщении #1613931 писал(а):

epros в сообщении #1613930 писал(а):

Конструктивная стратегия - это алгоритм определения хода при заданной информации о стратегиях других игроков

Я бы сказал, что это алгоритм определения хода при заданной ситуации.

Не знаю, что такое "ситуация", но по моим понятиям всё это укладывается в понятие "информации о стратегиях других игроков". С учётом того, что эта информация уточняется по результатам их предыдущих ходов.

mihaild в сообщении #1613931 писал(а):

epros в сообщении #1613930 писал(а):

Как определяется выигрыш?

Ага, вот тут, кажется, проблема.
Пара стратегий задает последовательность (алгоритм, который по номеру выдает бит),

Вот в этом я не уверен. Чтобы получился алгоритм, информация о стратегии противника должна быть алгоритмически разрешима, а это не очевидно.

mihaild в сообщении #1613931 писал(а):

и дальше нам нужно проверить, принадлежит ли эта последовательность множеству. Но вроде бы единственное что тут можно сделать - это посмотреть на начало последовательности, поэтому допустимы только такие множества, что принадлежность как ему, так и его дополнению, определяется по префиксу. Ну а такие множества детерменированы, но неинтересны.

Если множество определено таким образом, что принадлежность к нему алгоритмически неразрешима, то это - следующий вопрос. По идее, хотелось бы исходить из того, что мы имеем дело только с теми множествами, принадлежность которым разрешима. К сожалению, с множеством двоичных последовательностей не всё так просто, там даже равенство далеко не всегда разрешимо.

mihaild в сообщении #1613931 писал(а):

epros в сообщении #1613930 писал(а):

При конечном множестве ходов утверждение о наличии у первого игрока выигрышной стратегии звучало бы так: Существует такой первый ход, что для любого второго хода существует такой третий ход, ..., что в итоге получится выигрышный результат. К сожалению, при бесконечном количестве ходов нам пришлось бы сформулировать утверждение с бесконечным количеством кванторов

Тут ИМХО проблемы нет. Вместо кванторов по ходам берем квантор по стратегии второго игрока.

Не понял этой идеи. Тут я уже исходил из того, что о стратегии противника ничего неизвестно, поэтому следующий его шаг всегда может быть любым.

Очевидно, что в некоторых простых случаях "выигрышную стратегию" всё равно можно построить. Например, если первый игрок должен попасть в иррациональные числа, он может построить стратегию таким образом, что при любой последовательности ходов противника "в пределе" не может получиться рациональное число, просто по определению. Но я даже в этом простейшем случае не понимаю, как зафиксировать выигрыш, поскольку стратегия противника в этом случае может заключаться в том, чтобы не дать доказать, что последовательность "построена".

[mihaild]

epros в сообщении #1613947 писал(а):

Не знаю, что такое "ситуация"

Конечная битовая строка. Четной длины для первого игрока, нечетной для второго.

epros в сообщении #1613947 писал(а):

Чтобы получился алгоритм, информация о стратегии противника должна быть алгоритмически разрешима, а это не очевидно

Нет, нам нужно всего лишь уметь вычислять очередной ход.

epros в сообщении #1613947 писал(а):

Если множество определено таким образом, что принадлежность к нему алгоритмически неразрешима, то это - следующий вопрос

А существует ли вообще хоть какое-то множество двоичных последовательностей, принадлежность к которому разрешима (в том смысле, что есть $f$, который по программе $g$, задающей двоичную последовательность, говорит, задает ли эта программа элемент множества или нет), не являющееся объединением конечномерных цилиндров (множеств вида "сначала вот такой префикс, потом что угодно")?

epros в сообщении #1613947 писал(а):

Не понял этой идеи. Тут я уже исходил из того, что о стратегии противника ничего неизвестно, поэтому следующий его шаг всегда может быть любым

Пусть у нас есть функция $A$, которая по алгоритму, выдающему двоичную последовательность, говорит, кто выиграл. Стратегия первого игрока - это функция из битовых строк четной длины в биты, стратегия второго игрока - функия из нечетных строк тоже в биты. Пусть $\langle f, g\rangle$ - алгоритм, выдающий битовую строку, получающуюся игрой этих двух стратегий друг против друга. Тогда у первого игрока есть выигрышная стратегия, если $\exists f \forall g: A(\langle f, g\rangle)$.