Независимые интегралы движения

[EUgeneUS]

Cosmochelik в сообщении #1613763 писал(а):

И даже так $ x-x_0 = v_0(t-t_0) $

Тоже хорошо. Разбираемся со второй константой интегирования.
Тут вроде как аж две константы появляются - $t_0$ и $x_0$.
Но на самом деле, тут константа интегрирования одна.
Ничего не изменится если записать так:

$x = v_0 t + x_0$
кроме "трактовки" $x_0$. В такой записи, $x_0$ означает, "координата точки при $t=0$"

Но опять же, ничего не мешает переписать так:
$x = v_0 (t + t_0)$. В такой записи, $-t_0$ - это время, когда $x=0$

И это как раз то, о чем написано в ЛЛ-1: выбором $t_0$ может избавиться от одной константы интегрирования.

-- 18.10.2023, 14:18 --

Cosmochelik в сообщении #1613773 писал(а):

Кажеться я не понял предложения " Но нам нужны независимые, а такой - один, но можно выбрать любой."

В данном примере интегралами движения являются (в частности)
а) скорость $v$
б) импульс $mv$
в) кинетическая энергия $\frac{mv^2}{2}$
.... и т.д.
я) любая функция $f(v)$

Но все эти интегралы движения не явялются независимыми, а именно, все могут выражены через какой-то один из них.
Поэтому независимых интегралов движения в этом примере - один.

[Cosmochelik]

EUgeneUS
Так, начинаю понимать, щяс еще 5 секунд переварю это)

-- 18.10.2023, 14:37 --

EUgeneUS
Так, спасибо, математически я понял
Правда осталось два несущественных момента. Ну мол мы это сделали для простейшего случая, а можно ли так сделать для произвольной системы? И если да(ну там говориться и так что да) то почему можно исключить только одну константу ? (или имееться ввиду как минимум одну)
И еще эти сдвиги времени меня смущают, ведь отсчет начинаем с некоторого $ t_0$ когда $ x = x_0,$ а мы как бы обобщаем и на время раньше, хотя не факт что система вела себя прямолинейно равномерное на тот момент.

[EUgeneUS]

Cosmochelik в сообщении #1613775 писал(а):

Ну мол мы это сделали для простейшего случая, а можно ли так сделать для произвольной системы?

Это утверждение нетривиальное (но очевидное для ЛЛ )

Cosmochelik в сообщении #1613775 писал(а):

И если да(ну там говориться и так что да) то почему можно исключить только одну константу ? (или имееться ввиду как минимум одну)

Одну. И то не всякую, в нашем примере $v_0$ никак не исключить манипуляциями со сдвигом по времени.

Cosmochelik в сообщении #1613775 писал(а):

отсчет начинаем с некоторого $ t_0$ когда $ x = x_0,$

С какого момента хотим, с такого и начинаем - вибираем, как нам удобно.

Cosmochelik в сообщении #1613775 писал(а):

мы как бы обобщаем и на время раньше, хотя не факт что система вела себя прямолинейно равномерное на тот момент.

хехе. Вся классическая механика обратима во времени.

[Cosmochelik]

EUgeneUS
Большую часть ответов понял))
Только вот.. а.. ну.. если у меня та же ситуация для двумерного случая то я разве не могу исключить одновременно $x_0,y_0$ ?

[EUgeneUS]

Cosmochelik в сообщении #1613781 писал(а):

Только вот.. а.. ну.. если у меня та же ситуация для двумерного случая то я разве не могу исключить одновременно $x_0,y_0$ ?

А Вы попробуйте Можно даже сразу для трехмерного случая

-- 18.10.2023, 15:17 --

EUgeneUS в сообщении #1613777 писал(а):

хехе. Вся классическая механика обратима во времени.

Тут, конечно, нужно важное уточнение - при отсутствии диссипации.