Независимые интегралы движения

[Cosmochelik]

Читая ЛЛ-1 наткнулся в параграфе 6 в самом начале вот такое
"
Число независимых интегралов движения для замкнутой ме­ханической системы с s степенями свободы равно $2s-1$. Это очевидно из следующих простых соображений. Общее решение уравнений движения содержит 2s произвольных постоянных. Поскольку уравнения движения замкнутой систе­мы не содержат времени явно, то выбор начала отсчета времени совершенно произволен, и одна из произвольных постоянных в решении уравнений всегда может быть выбрана в виде аддитив­ной постоянной $t_0$ во времени. Исключив t + to из 2s функций
$q_i(t) = q_i(t+t_0,C_1,C_2,...,C_{2s-1})$
$\dot{q_i}(t) = \dot{q_i} (t+t_0,C_1,C_2,...,C_{2s-1})$
мы выразим $2s -1$ произвольных постоянных $C_1,C_2,..,C_{2s-1}$ в виде функций от $q$ и $\dot{q}$, которые и будут интегралами движения.
"
Честно говоря, я так понял что в частности если у меня одна мат. точка то я могу как то избавиться от $x_0$ или $v_0$ с помошью каких то махинаций со временем, но не до конца понимаю как. Буду рад если кто то поможет.

[Утундрий]

А я понял так, как там написано. Среди всех $2 s$ констант интегрирования имеется одна, связанная со сдвигом времени. Поскольку нас интересуют сохраняющиеся во премени комбинации координат и скоростей, то пользы от вышеупомянутой константы меньше, чем от ёжика на заводе презервативов. Поэтому авторы оную яростно вычитают, оставляя $2 s-1$ хороших, годных констант.

[Cosmochelik]

Утундрий
ахах)) Со слов "ёжика на заводе презервативов" и "яростно вычитают" посмеялся)
А вы можете пример какой то привести, ну там для одной материальной точки например ?

[Утундрий]

Cosmochelik в сообщении #1613686 писал(а):

пример какой

Ну, например, энергия. Она сохраняется во времени, но время не сохраняется в энергии. Поэтому энергия - интеграл движения, а $t_0$ - тривиальная константа интегрирования.

[Ende]

Тема перемещена из форума «Физика» в форум «Помогите решить / разобраться (Ф)»
Причина переноса: темы, в которых нужно что-то объяснить или подсказать в пределах учебных курсов, создаются в этом разделе.

[EUgeneUS]

Cosmochelik в сообщении #1613686 писал(а):

А вы можете пример какой то привести, ну там для одной материальной точки например ?

Вы и сами это можете.
Попробуйте это сделать для материальной точки в одномерном свободном пространстве.
Какие константы интегрирования у Вас будут? Сколько их?
От скольких можем избавиться выбором нулевого момента времени? От каких\какой?
Сколько останется в виде интегралов движения?

[Cosmochelik]

EUgeneUS
Ну константы я так понимаю
x_0,v_0
Я честно, все еще не врубаюсь в это)
Мне нужно что бы кто то показал пример на каком то уравнении.

[EUgeneUS]

Cosmochelik в сообщении #1613753 писал(а):

Я честно, все еще не врубаюсь в это)

IMHO, можно врубиться методом пристального вглядывания в эти константы.
Если не получится, то нужно записать Лагранжиан (сможете записать Лагранжиан для материальной точки в свободном одномерном пространстве?). И далее выполнить весь этот формализм по шагам.

[Cosmochelik]

EUgeneUS
$L = \frac{mv^2}{2}$
Шо дальше))

-- 18.10.2023, 13:53 --

Могу даже так
$\frac{d}{dt} \frac{\partial L}{\partial v} = \frac{\partial L}{\partial x}$
И отсюда $\frac{dv}{dt} = 0$
И отсюда $v = const = v_0 $
Более того $\frac{dx}{dt} = v_0 $
И даже так $ x-x_0 = v_0(t-t_0) $
Вот теперь точно что дальше))

[EUgeneUS]

Cosmochelik в сообщении #1613763 писал(а):

Шо дальше))

А дальше продолжаем выполнять формализм.
Какой следующий шаг?

[Cosmochelik]

EUgeneUS
Вот именно что я не могу вдуматься в этот формализм. Что я должен со временем сделать?

[EUgeneUS]

Cosmochelik
Сейчас нужно просто выполнять "инструкцию"
Потом обсудим смысл этих действий, если останется непонятым.

И так
а) есть Лагранжиан системы
б) мы хотим найти уравненимя движения.

Какой следующий шаг, после того, как записали Лагранжиан?

UPD: А вот появилось, в посте выше.

[Cosmochelik]

EUgeneUS
Ну вот уравнение движения в простейшем случае. Собственно, я на нем как раз и хочу понять как это все работает.

[EUgeneUS]

Cosmochelik в сообщении #1613763 писал(а):

Могу даже так
$\frac{d}{dt} \frac{\partial L}{\partial v} = \frac{\partial L}{\partial x}$

ОК. Записали уравнения Эйлера-Лагранжа.
Их будет столько, сколько степеней свободы (на каждую обощщёенную координату по одному)

Cosmochelik в сообщении #1613763 писал(а):

И отсюда $\frac{dv}{dt} = 0$

О! Полная производная чего-то по времени равна нулю!
А значит это "что-то" - интеграл движения.
В этой записи интеграл движения - скорость (не забываем, в нащем примере случае скорость одномерная, то есть интеграл двежения один, а не три).
Можно записать такие величины $mv$, $\frac{mv^2}{2}$, и они тоже будут интегралами движения в данном примере. Но нам нужны независимые, а такой - один, но можно выбрать любой.
Итак, одна константа интегирования $v_0$ - это и есть интеграл движения.

[Cosmochelik]

EUgeneUS
Кажеться я не понял предложения " Но нам нужны независимые, а такой - один, но можно выбрать любой."
И как мы используем $t_0 $что бы избавиться от$ x_0$
UPD. Перечитал, понял. mv, mv^2/2 зависимы, мы выбираем любой из них как интеграл движения
Второй пункт еще остался непонятен.