Действие группы на себе

[ohart]

Возник такой вопрос:
Есть стандартные действия группы на себе (с сохранением групповой структуры) - левыми/правыми сдвигами и сопряжениями. Существуют ли другие действия?

[dgwuqtj]

Действия сдвигами не сохраняют групповую структуру. У разных групп вообще разное количество действий на себе. Вам для конкретной группы надо или интересует описание всех естественных (скажем) действий для всех групп одновременно?

[ohart]

dgwuqtj в сообщении #1613684 писал(а):

Действия сдвигами не сохраняют групповую структуру. У разных групп вообще разное количество действий на себе. Вам для конкретной группы надо или интересует описание всех естественных (скажем) действий для всех групп одновременно?

Да, конечно. Я неправильно выразился.
Интересует второе - все естественные действия, такие что

$$\varphi_g(h_1h_2)=\varphi_g(h_1)\varphi_g(h_2)$$

[dgwuqtj]

Тогда надо посмотреть, как это естественное действие устроено для свободных групп. Скажем, как может действовать $x$ на $y$ в свободной группе $F(x, y)$ с двумя образующими?

Как минимум есть ещё тривиальное действие.

[Утундрий]

(Оффтоп)

Задумался, считать ли действие группы под себя - естественным?

[ohart]

dgwuqtj в сообщении #1613688 писал(а):

Тогда надо посмотреть, как это естественное действие устроено для свободных групп. Скажем, как может действовать $x$ на $y$ в свободной группе $F(x, y)$ с двумя образующими?

Как минимум есть ещё тривиальное действие.

Спасибо, подумаю.
Под тривиальными действиями, наверное, предполагались варианты вида

$$\forall g\in G:\ \varphi_x(g)=e,\ \varphi_y(g)=g$$

-- 17.10.2023, 16:02 --

(Оффтоп)

Утундрий в сообщении #1613690 писал(а):

Задумался, считать ли действие группы под себя - естественным?

Очень сильно зависит от группы ;)

[KhAl]

Сие суть гомоморфизм групп $G \to \operatorname{Aut}(G)$. Бывают и нетривиальные, кроме сопряжения, даже для конечных абелевых групп.

P.S. о, и для $\mathbb{Z}$ есть один!

[dgwuqtj]

$\varphi_x(g) = e$ не действие (при $x = e$ это не тождественное преоьразоваие), а вот вторая формула задаёт действие.

[ohart]

KhAl в сообщении #1613694 писал(а):

сие суть гомоморфизм групп $G \to \operatorname{Aut}(G)$

Это я понимаю

KhAl в сообщении #1613694 писал(а):

Бывают и нетривиальные, кроме сопряжения, даже для конечных абелевых групп.

Я пытаюсь понять, есть ли естественные действия, которые можно описать сразу для всех групп, а не для конкретной группы. Такие, как действия сопряжениями.
На самом деле, я немного запутался изначально. Действительно, как указал dgwuqtj, действие сдвигами не сохраняет групповую структуру и не выполняется то, что я написал выше: $\varphi_g(h_1h_2)=\varphi_g(h_1)\varphi_g(h_2)$
Всем спасибо за комментарии, я еще сам подумаю и может быть спрошу еще раз что-то более конкретное позже.

[ohart]

KhAl в сообщении #1613694 писал(а):

P.S. о, и для $\mathbb{Z}$ есть один!

Для кольца $\mathbb{Z}$ можно определить действие его аддитивной группы на самой себе так:

$$\varphi_n(x)=(-1)^nx$$

Для произвольной абелевой группы пока не нахожу нетривиальных действий на себе, сохраняющих структуру группы.

[KhAl]

dgwuqtj писал(а):

Тогда надо посмотреть, как это естественное действие устроено для свободных групп. Скажем, как может действовать $x$ на $y$ в свободной группе $F(x, y)$ с двумя образующими?

кстати, $\operatorname{Aut}(F(x_1,...,x_n))$ известна.

[dgwuqtj]

Ну, тут это явно не понадобится. Я просто хотел сказать, что по $\varphi_x(y)$ восстанавливается всё естественное действие целиком, что накладывает на него некие ограничения.

[KhAl]

Цитата:

по $\varphi_x(y)$ восстанавливается всё естественное действие целиком

да? вроде бы любой гомоморфизм $F(x,y) \to \operatorname{Aut}(F(x,y))$, как гомоморфизм из свободной группы, однозначно задаётся образами $x$ и $y$ в том смысле, что для каждых $a, b \in \operatorname{Aut}(F(x,y))$ существует и единственный гомоморфизм $h$ такой, что $h(x) = a$, $h(y) = b$.

Так что ограничений почти нет?

[dgwuqtj]

KhAl в сообщении #1613820 писал(а):

Так что ограничений почти нет?

Ограничения есть, конечно же. Если $\varphi$ - это естественное действие, то для любой группы $G$ и любых $a, b \in G$ должно выполняться равенство $\varphi_a(b) = f(\varphi_x(y))$, где $f \colon F(x, y) \to G$ - это гомоморфизм, переводящий $x$ в $a$ и $y$ в $b$. В частности, выполняются тождества $\varphi_x(yz) = \varphi_x(y) \varphi_x(z)$, $\varphi_1(x) = x$ и $\varphi_x(\varphi_y(z)) = \varphi_{xy}(z)$ в группе $F(x, y, z)$, это довольно сильные условия на элемент $\varphi_x(y) \in F(x, y)$.