Получить формулу квадратного корня для элемента поля

[mihiv]

Система разрешима, естественно, не для любых $c_i$, но тем не менее любой квадратный корень, принадлежащий исходному полю можно записать в виде:$a_0+a_1\sqrt[3] {3}+a_2\sqrt[3] {3}, a_i-$любые рациональные числа. Возникает вопрос-из какого числа корень? Из этого:

$$({a_0}^2+6 \cdot a_1 \cdot a_2)+({a_2}^2+2 \cdot a_0 \cdot a_1)\sqrt[3] {3}+({a_1}^2+2 \cdot a_0 \cdot a_2)\sqrt[3] {3^2}, a_i\in \mathbb {Q}\eqno (1)$$

Множество чисел $(1)$ является подмножеством исходного поля.

[StepV]

mihiv в сообщении #1613401 писал(а):

Из этого:

$$({a_0}^2+6 \cdot a_1 \cdot a_2)+({a_2}^2+2 \cdot a_0 \cdot a_1)\sqrt[3] {3}+({a_1}^2+2 \cdot a_0 \cdot a_2)\sqrt[3] {3^2}, a_i\in \mathbb {Q}\eqno (1)$$

Маленькое уточнение. У вас опечатка, во вторых скобках стоит выражение: $(3\cdot{a_2}^2+2 \cdot a_0 \cdot a_1)\sqrt[3] {3}$

[mihiv]

StepV в сообщении #1613413 писал(а):

во вторых скобках стоит выражение: $(3\cdot{a_2}^2+2 \cdot a_0 \cdot a_1)\sqrt[3] {3}$

Да, спасибо!

[pppppppo_98]

StepV в сообщении #1612853 писал(а):

Тогда, решая уравнение $t^2=c$

Берем самый простой тривиальный случай $t^2 = \sqrt[3]{3}$, из которого видно что поле надо расширить до $Q\left(\sqrt[6]{3}\right)$ как минимум, а если еще $t^2 = -\sqrt[3]{3}$, то $Q\left(\sqrt[6]{3}, i\right)$... Есть однако предположение, что этим не ззакончится и поле, и далее нужно расширять это поле до бесконечности

[Утундрий]

Я, конечно, понимаю, что перебирать варианты обычно бывает лень. Но в данном случае высота дерева порядка десяти. А само дерево, на минуточку, бинарное.

[StepV]

pppppppo_98 в сообщении #1613534 писал(а):

Берем самый простой тривиальный случай $t^2 = \sqrt[3]{3}$, из которого видно что поле надо расширить...

Это понятно с самого начала. Сошлюсь на пост сделанный выше:

mihiv в сообщении #1613401 писал(а):

Система разрешима, естественно, не для любых $c_i$, но тем не менее любой квадратный корень, принадлежащий исходному полю можно записать...

Поэтому вопрос состоял в том, как решить получившуюся систему уравнений для исходного поля или найти другой метод получения корня в поле.
А так согласен, что расширив поле до $\mathbb{C}$, мы легко решим все проблемы.

[pppppppo_98]

StepV в сообщении #1613540 писал(а):

Поэтому вопрос состоял в том, как решить получившуюся систему уравнений для исходного поля или найти другой метод получения корня в поле.

я чо то вас не понимаю.. как можно найти корень в поле если уравнение не имеет таковых в этом поле. Вы ставите задачу аналогичную - а уважаемые давайте помогите мне решить в поле рациональных чисел уравнение $x^2 = 2$..Кстати похоже необходимое условие наличия корней норма $N(x)=a^3_0 + 3 a^3_1 + 9 a^3_2 - 9 a_0 a_1 a_2 $ - должна быть квадратом

ЗЫ

Совершенно случайно тут мне попался в сети ролик Савватеева https://www.youtube.com/watch?v=t6IwvLPWQKw... Там аналогичные уравнения он решил ну очень подобное уравнение, но в конце говорит какие-то магические слова о поиске подгрупп в группах конечных автоморфизмов проективных пространств

[StepV]

pppppppo_98 в сообщении #1613541 писал(а):

я чо то вас не понимаю.. как можно найти корень в поле если уравнение не имеет таковых в этом поле.

Тогда пару примеров:
$c=127+153\cdot\sqrt[3]{3}+23\cdot\sqrt[3]{3^2}$. Корень равен числу: $t=\sqrt{c}=1+3\cdot\sqrt[3]{3}+7\cdot\sqrt[3]{3^2}$
$c=6,01+5,12\cdot\sqrt[3]{3}+1,84\cdot\sqrt[3]{3^2}$. Корень равен числу: $t=\sqrt{c}=0,5+0,8\cdot\sqrt[3]{3}+1,2\cdot\sqrt[3]{3^2}$

pppppppo_98 в сообщении #1613541 писал(а):

Кстати похоже необходимое условие наличия корней норма $N(x)=a^3_0 + 3 a^3_1 + 9 a^3_2 - 9 a_0 a_1 a_2 $ - должна быть квадратом

Вы правы, нормы чисел тоже являются квадратами. Для первого $N=8880400$ $\sqrt{N}=2980$ , для второго $Т=166,2294$ .$\sqrt{N}=12,893$

pppppppo_98 в сообщении #1613541 писал(а):

Совершенно случайно тут мне попался в сети ролик Савватеева

Спасибо. Обязательно посмотрю.

[Rak so dna]

StepV в сообщении #1612853 писал(а):

получаем систему уравнений для коэффициентов:
${a_0}^2+6 \cdot a_1 \cdot a_2=c_0$
$3 \cdot {a_2}^2+2 \cdot a_0 \cdot a_1=c_1$
${a_1}^2+2 \cdot a_0 \cdot a_2=c_2$
Метод подстановки приводит к очень запутанным степенным выражениям, корни получить очень трудно. Может есть общие алгоритмы решения таких систем без использования метода подстановки?

Конкретно эта система решается в радикалах. Или имеются ввиду решения в рациональных числах для конкретных $c_0,c_1,c_2?$

[StepV]

Rak so dna в сообщении #1613559 писал(а):

имеются ввиду решения в рациональных числах для конкретных $c_0,c_1,c_2?$

Да, для числа $\sqrt{c}$ коэффициенты $a_i \in \mathbb{Q}$. Иначе корень вне поля, т.е. для такого числа в поле корень не определен (аналогично, как в $\mathbb{R}$ для отрицательных чисел).

[Null]

Rak so dna в сообщении #1613559 писал(а):

Конкретно эта система решается в радикалах.

Ну я думаю это и нужно. Решаем в радикалах и проверяем рациональность решения.

[Rak so dna]

Так ещё проще. Для системы

$\left\{ \begin{array}{lcl} x^2+6yz=a \\ y^2+2xz=b \\ 3z^2+2xy=c \end{array}\right$$

например для $x,$ необходимое условие:

$(x^2-a)\left(729x^8-972ax^6+54(12bc+5a^2)x^4-4(48c^3-36abc+144b^3+7a^3)x^2+(12bc-a^2)^2\right)=0$

А проверить, имеет ли данное уравнение рациональный корень, просто.

[dgwuqtj]

Null в сообщении #1613562 писал(а):

Ну я думаю это и нужно. Решаем в радикалах и проверяем рациональность решения.

Если решать абы как, то решение (точнее, каждое $a_i$) может быть неким многочленом от $\sqrt{c_0 + c_1 \sqrt[3] 3 + c_2 \sqrt[3] 9}$, $\sqrt[3]3$ и $i \sqrt 3$. У него рациональность проверить как-то тяжело.

[Null]

dgwuqtj в сообщении #1613564 писал(а):

решение (точнее, каждое $a_i$) может быть неким многочленом от $\sqrt{c_0 + c_1 \sqrt[3] 3 + c_2 \sqrt[3] 9}$, $\sqrt[3]3$ и $i \sqrt 3$. У него рациональность проверить как-то тяжело.

При чем здесь это? Берем по очереди рациональные корни
$(x^2-a)\left(729x^8-972ax^6+54(12bc+5a^2)x^4-4(48c^3-36abc+144b^3+7a^3)x^2+(12bc-a^2)^2\right)=0$
Подставляем их в систему, ищем $y$ и $z$. Если нашли рациональное $x,y,z$ - вот он корень. Ничего не нашли - в $Q\left(\sqrt[3]{3}\right)$ корней нет. Я так понял задачу.

[dgwuqtj]

Так, конечно, можно, только к разрешимости в радикалах это уже не относится. Сам $x$ придётся искать неким перебором (ну или специальным арифметическим алгоритмом).