Существование непрерывной функции со значением 1 на компакте

[YuryS]

Добрый день !

Как подойти к решению следующей задачи -

Пусть $X$ будет локально компактным хаусдорфовым пространством, и пусть $K$ будет компактным подмножеством множества $X$. Показать, что существует непрерывная вещественно-значная функция $f$ на $X$, такая что $f(x)= 1, x \in K$, и множество $\left\lbrace x: f(x) \ne 0 \right\rbrace$ имеет компактное замыкание.
Спасибо.

[dgwuqtj]

Можете найти для начала замкнутое подмножество, не пересекающее $K$ и у которого дополнение имеет компактное замыкание.

[YuryS]

Вы , наверно, имеете ввиду тот факт, что в таком пространстве $X$ для компактного подмножества $K$ существует содержащее его открытое множество $U$ с компактным замыканием $\overline{U}$. Тогда таким замкнутым множеством будет $X \backslash U$.
Только что дальше ?

[dgwuqtj]

А дальше примените лемму Урысона (можно к компактному подмножеству $\overline U$).

[YuryS]

Здесь лемма Урысона применима к замкнутым подмножествам $K$ и $X \backslash U$, что дает нам непрерывную функцию $f$, которая равна 1 на $K$ и 0 на $X \backslash U$. Для выполнения условия задачи мы должны ее доопределить на $U \backslash K$ также значением 1.
Но остается вопрос - почему здесь возможно применение леммы Урысона, поскольку ее использование возможно только в нормальных пространствах, а локально компактные хаусдорфовы такими не являются.

[dgwuqtj]

Во-первых, на $U \setminus K$ функция может быть какой угодно, носитель всё равно будет компактным. Во-вторых, компактные хасудорфовы пространства точно нормальны, почему я и предложил применять лемму к компакту $\overline U$.

[YuryS]

1) Не пойму - если функция $f$ равна 1 на $K$ и, допустим, на некоторых элементах из $U \backslash K$, то почему мы можем утверждать , что ее носитель будет компактным ? Здесь компактными замыканиями обладают только множества $K$ и $U$.
2) В общем случае, локально компактные хаусдорфовы пространства не являются нормальными - https://mathoverflow.net/questions/5330 ... not-normal
3) И что значит применить лемму к $\overline{U}$ - нам для ее применения нужны 2 замкнутых множества.

[dgwuqtj]

Я имел в виду применить лемму к пространству $\overline U$ и его подмножествам $K$, $\overline U \setminus U$ (а на $X \setminus \overline U$ продолжить нулём). Так что функция будет ненулевая только на подмножестве $\overline U$.

[YuryS]

Если даже применить лемму к подмножествам $K$ и $\overline{U} \backslash U$ в рамках подпространства $\overline{U}$, то всё равно мы получим функцию , которая будет равна 1 на $K$ и будет равна 0 на $\overline{U} \backslash U$. Т.е., такая функция не будет ненулевой на всем $\overline{U}$ (я так понимаю).

[dgwuqtj]

А зачем ей нужно там быть всюду ненулевой? Просто носитель будет содержаться в $\overline U$.

-- 13.10.2023, 17:27 --

Замкнутое подмножество компактного хаусдорфова пространства само компактно.