Задачи о непрерывности

[svv]

Rak so dna, конечно. Возьмём правильный треугольник. Все $n$ прямых пересекаются в точке $O$. Пусть какие-то три соседних прямых пересекают сторону $a$ и сторону $b$ треугольника:

У треугольников $OA_{-1}A_0,OA_0A_1$ равны площади и высоты, значит, равны основания: $A_{-1}A_0=A_0A_1$.
Аналогично, у $OB_{-1}B_0,OB_0B_1$ тоже равны основания: $B_{-1}B_0=B_0B_1$.
Введём векторы
$\mathbf p=\overrightarrow{OA_0}\quad\mathbf a=\overrightarrow{A_{-1}A_0} =\overrightarrow{A_{0}A_1}$
$\mathbf q=\overrightarrow{OB_0}\quad\mathbf b=\overrightarrow{B_{-1}B_0} =\overrightarrow{B_{0}B_1}$

В этих обозначениях
$\overrightarrow{OA_{-1}}=\mathbf p-\mathbf a\quad\overrightarrow{OA_{1}}=\mathbf p+\mathbf a$
$\overrightarrow{OB_{-1}}=\mathbf q-\mathbf b\quad\overrightarrow{OB_{1}}=\mathbf q+\mathbf b$
Поскольку $\overrightarrow{OA_n}$ и $\overrightarrow{OB_n}$ коллинеарны ($n=0,-1,1$), их векторное произведение равно нулю:
$\mathbf p\times\mathbf q=\mathbf 0$
$(\mathbf p-\mathbf a)\times(\mathbf q-\mathbf b)=\mathbf 0$
$(\mathbf p+\mathbf a)\times(\mathbf q+\mathbf b)=\mathbf 0$
Раскроем скобки в двух последних равенствах:
$\begin{xy}*{\mathbf p\times\mathbf q};p+LD;+UR**h@{-}\end{xy}-\mathbf a\times\mathbf q-\mathbf p\times\mathbf b+\mathbf a\times\mathbf b=\mathbf 0$
$\begin{xy}*{\mathbf p\times\mathbf q};p+LD;+UR**h@{-}\end{xy}+\mathbf a\times\mathbf q+\mathbf p\times\mathbf b+\mathbf a\times\mathbf b=\mathbf 0$
Складывая их, получим $\mathbf a\times\mathbf b=\mathbf 0$. Но это означает, что стороны треугольника параллельны.

Остаётся показать, что при достаточно большом $n$ такое будет обязательно:

svv в этом сообщении выше писал(а):

Пусть какие-то три соседних прямых пересекают сторону $a$ и сторону $b$ треугольника

-- Пт окт 13, 2023 04:42:47 --

P.S. Не уверен, что понятно написал. Соседние прямые — $A_{-1}B_{-1}$ и $A_0B_0$. А также $A_0B_0$ и $A_1B_1$.
Но $A_{-1}B_{-1}$ и $A_1B_1$ — нет (точнее, не обязательно).

[Rak so dna]

svv спасибо! Вы всё понятно написали.

[svv]

Rak so dna
Интересный момент. Хороший чертёж к этому рассуждению от противного сделать не получается, потому что ситуация невозможная. У меня и треугольник, как видите, не совсем правильный, и "равные" основания получились заметно разной длины. Нарисован некий компромисс.

[TOTAL]

Совсем простое рассуждение. Прямая, вращаясь вокруг волшебной точки, заметает по обе стороны одинаковые площади. Поэтому точка находится на одинаковом расстоянии от противоположных границ.

[12d3]

Leeb в сообщении #1611892 писал(а):

Останется ли утверждение верным если потребовать соотношение объемов частей равным $1:p,\ p\geqslant 1$?

Здесь контрпример такой. Возьмем большой почти плоский круглый блин и на оси, перпендикулярной к плоскости блина и проходящей через центр, разместим два маааленьких шарика на достаточно большом расстоянии друг от друга. Любая плоскость, проходящая через два шарика, будет проходить очень близко к оси и поделит блин примерно пополам, так что произвольного $p$ не получится.

Leeb в сообщении #1611892 писал(а):

Докажите, что для любых трех ограниченных тел в пространстве найдётся плоскость, делящая каждое из них на две части равного объема.

А тут я думал в такую сторону. Возьмем произвольную точку $O$ и единичную сферу вокруг нее. Для каждой точки $X$ на сфере рассмотрим такую функцию $f_1(X)$: пусть на прямой $OX$ есть точка $P$ такая что, плоскость, проходящая через $P$ перпендикулярно $OX$, делит первое тело пополам. Тогда $f_1(X) = \frac{OP}{OX}$. Если точки $P$ и $X$ находятся по разную сторону от $O$, то значение функции сделаем отрицательным $f_1(X) = - \frac{OP}{OX}$. Во первых, такая функция существует, во-вторых, её непрерывность следует из ограниченности первого тела, в-третьих, в противоположных точках сферы значения функции противоположны. Аналогично введем для двух других тел функции $f_2(X)$ и $f_3(X)$, и если в какой-то точке сферы значения всех трех функций совпадут, то это значит, что мы поделили все три тела пополам одной плоскостью. Теперь рассмотрим разности $g(X) = f_2(X) - f_1(X)$ и $h(X) = f_3(X) - f_1(X)$, которые тоже непрерывные и "нечётные". И вот осталось доказать, что в какой-то точке сферы они одновременно обращаются в ноль, наверное здесь какая-то теоремка полезная есть, о которой я не знаю. Немного напоминает теорему о причесывании ежа, но свести к ней не получилось.

[svv]

TOTAL в сообщении #1613372 писал(а):

Совсем простое рассуждение. Прямая, вращаясь вокруг волшебной точки, заметает по обе стороны одинаковые площади. Поэтому точка находится на одинаковом расстоянии от противоположных границ.

Так Вы это, вроде, уже сказали тут:

TOTAL в сообщении #1613123 писал(а):

Любая прямая должна делить площадь на две равные части. ... Если прямая параллельна стороне, то она идет не через центр. А при огромном $n$ в пучке есть прямые любого направления.

Три таких прямых, параллельных какой-то стороне и делящих площадь пополам, не пересекаются.

[TOTAL]

svv в сообщении #1613388 писал(а):

TOTAL в сообщении #1613372 писал(а):

Совсем простое рассуждение. Прямая, вращаясь вокруг волшебной точки, заметает по обе стороны одинаковые площади. Поэтому точка находится на одинаковом расстоянии от противоположных границ.

Так Вы это, вроде, уже сказали тут:

TOTAL в сообщении #1613123 писал(а):

Любая прямая должна делить площадь на две равные части. ... Если прямая параллельна стороне, то она идет не через центр. А при огромном $n$ в пучке есть прямые любого направления.

Три таких прямых, параллельных сторонам и делящих площадь пополам, не пересекаются.

Я не нахожу ничего общего с тем, что раньше говорил, к тому же раньше говорил про треугольник.
Заметает равные площади (при бесконечно малом повороте) - это совсем не деление на две равные части.
Т.к. площади треугольников $A_0A_1O$ и $B_0B_1O$ равны, то равны (в пределе) и стороны $A_0O = B_0O$

[svv]

Да, я Ваше последнее рассуждение совсем неверно понял.

[staric]

3а

12d3 в сообщении #1613381 писал(а):

А тут я думал в такую сторону.

А что, центры тяжести кто-то отменял? Проведем через 3 плоскость. 3б - через 3 одинаковых, вроде, можно.

[Leeb]

12d3 в сообщении #1613381 писал(а):

Leeb в сообщении #1611892 писал(а):

Останется ли утверждение верным если потребовать соотношение объемов частей равным $1:p,\ p\geqslant 1$?

Здесь контрпример такой. Возьмем большой почти плоский круглый блин и на оси, перпендикулярной к плоскости блина и проходящей через центр, разместим два маааленьких шарика на достаточно большом расстоянии друг от друга. Любая плоскость, проходящая через два шарика, будет проходить очень близко к оси и поделит блин примерно пополам, так что произвольного $p$ не получится.

Leeb в сообщении #1611892 писал(а):

Докажите, что для любых трех ограниченных тел в пространстве найдётся плоскость, делящая каждое из них на две части равного объема.

А тут я думал в такую сторону. Возьмем произвольную точку $O$ и единичную сферу вокруг нее. Для каждой точки $X$ на сфере рассмотрим такую функцию $f_1(X)$: пусть на прямой $OX$ есть точка $P$ такая что, плоскость, проходящая через $P$ перпендикулярно $OX$, делит первое тело пополам. Тогда $f_1(X) = \frac{OP}{OX}$. Если точки $P$ и $X$ находятся по разную сторону от $O$, то значение функции сделаем отрицательным $f_1(X) = - \frac{OP}{OX}$. Во первых, такая функция существует, во-вторых, её непрерывность следует из ограниченности первого тела, в-третьих, в противоположных точках сферы значения функции противоположны. Аналогично введем для двух других тел функции $f_2(X)$ и $f_3(X)$, и если в какой-то точке сферы значения всех трех функций совпадут, то это значит, что мы поделили все три тела пополам одной плоскостью. Теперь рассмотрим разности $g(X) = f_2(X) - f_1(X)$ и $h(X) = f_3(X) - f_1(X)$, которые тоже непрерывные и "нечётные". И вот осталось доказать, что в какой-то точке сферы они одновременно обращаются в ноль, наверное здесь какая-то теоремка полезная есть, о которой я не знаю. Немного напоминает теорему о причесывании ежа, но свести к ней не получилось.

Да, практически все верно. Действительно, рассмотрим тело $D$ в пространстве и функцию, которая всякому направлению (т.е. по сути точке сферы $S^2$ или $S^{n-1}$ для старших размерностей) $x$ ставит в соответствие $H(x,b)$ - плоскость, ортогональную данному направлению и отстоящую от начала координат на $b$ (сонаправлено $x$). Из теоремы о промежуточном значении (для прямой) следует, что существует притом единственная плоскость $H(x,b_D)$, которая делит данное тело на две части равного объема и ортогональна фиксированному направлению $x$. Тогда можно рассмотреть функцию $f_D\colon x\mapsto b_D$, которая переводит сферу $S^2$ в $\mathbb{R}$. Это отображение непрерывно, а еще нечетно: $f_D(-x)=-f_D(x)$, поскольку смена ориентации вектора меняет это число на противоположное и поэтому диаметральные точки сферы оно переводит в противоположные числа. И для трех тел $D,E,F$ рассмотрим три такие функции $f_D,f_E,f_F$. Очевидно, что и разности $g(x) = f_D-f_E,\ h(x)=f_E-f_F$ тоже нечетные, таким образом, мы можем рассмотреть уже отображение $\varphi\colon S^2\to \mathbb{R}^2,\ \varphi(x) = (g(x),h(x))$. И здесь действительно нужны дополнительные (нетривиальные) соображения: мы имеем нечетное отображение двумерной сферы в плоскость. Хорошо бы, если бы у него быль ноль. И такой ноль действительно существует - по теореме Борсука-улама любое непрерывное нечетное отображение сферы в плоскость имеет ноль на этой сфере (или же $S^{n-1}\to \mathbb{R}^{n-1},n\geqslant 3$). Сама эта теорема нетривиальна, но эквивалентна теореме Брауэра о неподвижной точке отображения $D^n\to D^n$, последнюю можно доказать, например, привлекая гомологии или гомотопические группы (с теоремой о причесывании ежа связь здесь очень опосредованная, я бы сказал). По модулю этого задача решена.
Если же потребовать неравное соотношение, то действительно, нарушится условие нечетности построенных отображений, и теорему Борсука уже не применить, доказательство не срабатывает. А вы привели один из хороших контрпримеров.

staric в сообщении #1613423 писал(а):

3а

12d3 в сообщении #1613381 писал(а):

А тут я думал в такую сторону.

А что, центры тяжести кто-то отменял? Проведем через 3 плоскость. 3б - через 3 одинаковых, вроде, можно.

Центры масс тут не помогут совершенно, контрпример - три тетраэдра правильных.

Кстати, только заметил, что в условии задачи 4 опять забыл написать "замкнутая кривая" (всегда это подразумеваю и всегда забываю явно написать).

[Rak so dna]

Попробуем показать, что контрпримером к первой задаче для $n=4$ является правильный треугольник. Выберем произвольную прямую, тогда существует единственная, параллельная ей прямая, делящая треугольник на два равновеликих, а также, для этой прямой, существует единственная прямая, делящая треугольник на четыре равновеликих части. Рассмотрим конфигурацию, показанную на рисунке (две стороны треугольника содержат по одной точке пересечения, третья сторона — две точки).

Если я не ошибся, и не пропустил вариант при переборе, то любая конфигурация из четырёх прямых, проходящих через одну точку внутри треугольника либо содержит невозможную конфигурацию svv, либо является композицией двух данных конфигураций двух прямых. Рассмотрим конкретную конфигурацию, изображённую на рисунке (левая и правая стороны треугольника содержат по одной точке, нижняя — две точки). Начнём поворачивать её так, что бы сохранялись площади всех четырёх кусков (нижняя сторона продолжает содержать две точки, а боковые — по одной), тогда точка пересечения $O$ будет двигаться по синей кривой, которая, если принять координаты вершин треугольника $(0,0),~(2,0),~(1,\sqrt{3}),$ аналитически задаётся как:

$128y^3+16\sqrt{3}(4x^2-8x-3)y^2+96y-9\sqrt{3}=0$

Поворачивая, относительно центра треугольника, всю эту конструкцию на $\pm\frac{2\pi}{3}$ получаем картинку:

а из неё — пучок кривых, содержащих полную траекторию точки пересечения, при повороте на любой угол

Понятно, что если треугольник делится на $8$ частей, то точка пересечения прямых должна совпадать с одной из точек самопересечения данной траектории. Видно (можно показать аналитически), что все такие точки лежат на осях зеркальной симметрии треугольника. Поэтому достаточно рассмотреть одну такую ось (возьмём вертикальную) и три точки самопересечения на ней. Для первых двух точек (пересечения зелёной с красной кривой), можно показать, что через них обязана проходить и синяя кривая. Для оставшейся точки самопересечения синей кривой невозможность проверяется непосредственно.

[Rak so dna]

Rak so dna в сообщении #1613465 писал(а):

Для первых двух точек (пересечения зелёной с красной кривой), можно показать, что через них обязана проходить и синяя кривая.

Похоже это неправда, и данные точки тоже нужно проверить непосредственно.

[Rak so dna]

Rak so dna в сообщении #1613468 писал(а):

и данные точки тоже нужно проверить непосредственно.

Проверил все точки, и получил самую унылую траекторию — три последовательно соединённых дуги, зрительно не отличимых от окружности.

Точки $P,Q,R$ соответствуют переходу конфигурации через вершины треугольника. Никаких самопересечений траектории нет, а значит всё доказано.

Итак, по правильному треугольнику имеем следующее:
svv закрыл случаи $n\geq7,$ мои рассуждения закрывают случаи $n=4,~n=6.$ Остался случай $n=5.$

Также интересен следующий вопрос:
Существует ли такое $n,$ что правильный $n-1$ угольник разбивается $n$ прямыми, проходящими через одну точку, на $2n$ частей равной площади.