Док-во с Кудрявцева по матанализу, Действительные числа

[bjulia]

Добрый день, у меня трудности с пониманием правильно ли я пишу док-во на некоторые упражнения Кудрявцева. Задача следующая:

15. Доказать, что множество всех чисел вида $\frac{p}{q}$, где p $\in$ N, q $\in$ N, 0 < p < q, не имеет ни наибольшего, ни наименьшего элемента. Найти его точную верхнюю и нижнюю грань.

Мои рассуждения были следующими:
Докажем от противного. Предположим, что в данном мн-ве сущ. наибольший и наименьший элемент.
Обозначим мн-во буквой X.
Возьмем наибольший. Пусть K - max(X). По определению, x <= K $\forall$ x$\in$ X, и $\forall $ b < K $\exists$ x $\in$ X: x > b, K $\in$ X.
Тогда нужно показать существование элемента, который будет больше (или равен), чем K, и который будет также x$\in$ X.
Чтобы показать это пример, нужно произвести арифметические операции. K = p/q (p$\in$ N, q$\in$ N). Достаточно ли определить число таким образом: P = p/q + p/(2*q) = 3p/2q?

Ну и соответственно такое же число для доказательства наименьшего, но p/q - p/(2*q) ?

И еще, нижняя грань должна же быть -inf, а наименьшая грань +inf?

[Евгений Машеров]

Пусть существует максимальный элемент $\frac p q$, тогда $\frac {p+1} q$...
Пусть существует минимальный элемент $\frac p q$, тогда $\frac p {q+1} $...

[dgwuqtj]

По условию должны выполняться неравенства $0 < p < q$, так что сколь угодно больших чисел получить нельзя. Те числа, которые вы определили, тоже этим условиям могут не удовлетворять.

[realeugene]

Евгений Машеров в сообщении #1613286 писал(а):

Пусть существует максимальный элемент $\frac p q$, тогда $\frac {p+1} q$...

Нет.

Это, конечно легко исправляется. Но есть ещё один нюанс. Нужно не забыть строго доказать, что верхняя и нижняя грани точные.

[Ende]

bjulia
Даже отдельные обозначения нужно оформлять как формулы. Не p $\in$ N, а $p \in \mathbb N$, далее везде (наведите курсор, чтобы увидеть код формулы). На первый раз не понесу тему в Карантин, в следующий раз - обязательно.