Задачи о непрерывности

[Leeb]

Следующие задачи на тему соображений непрерывности, но для некоторых нужны более тонкие обоснования.

1. Докажите, что любую выпуклую ограниченную фигуру на плоскости можно разделить на $2n$ частей равной площади некоторым набором из $n$ прямых, проходящих через одну точку.

2. Верно ли, что всякое выпуклое ограниченное тело в пространстве можно разделить на восемь равных по объему частей некоторой тройкой плоскостей?

3. Докажите, что для любых трех ограниченных тел в пространстве найдётся плоскость, делящая каждое из них на две части равного объема. Останется ли утверждение верным если потребовать соотношение объемов частей равным $1:p,\ p\geqslant 1$? Также докажите обобщение на старшие размерности.

4. В пространстве размещена выпуклая замкнутая поверхность, во внутренней области отмечена точка. Верно ли, что всегда найдётся плоская кривая, лежащая на поверхности, такая, что её центр масс попадает в отмеченную точку?
(Вариант - внутри размещена строго выпуклая поверхность, верно ли, что найдётся плоскость, касающаяся этой внутренней поверхности таким образом, что центр масс сечения внешней поверхности этой касательной плоскостью попадает в точку касания.)

5. Верно ли, что всякое выпуклое тело диаметра 1 в пространстве можно поместить в октаэдр, у которого расстояние между противоположными гранями равно 1? Как обобщить эту задачу на старшие размерности?

[Leeb]

Неинтересно?

[svv]

Что касается меня, решать не хочется и нет времени, но с интересом бы просмотрел готовые решения, потому что некоторые утверждения противоречат моей интуиции.

[worm2]

Задачи очень интересные.
Мне даже первая не поддалась за несколько попыток.
Я уже сдаюсь, хотел бы посмотреть на решение.

+ присоединяюсь к интуиции svv

[TOTAL]

Делаю попытку решить первую задачу.
Берём правильный треугольник и очень большое $n$. Общая точка всех прямых должна лежать на высоте треугольника. А также она должна лежать чуть ближе к стороне треугольника, чем центр треугольника. А поэтому нет такой точки.

[Leeb]

TOTAL в сообщении #1613074 писал(а):

Делаю попытку решить первую задачу.
Берём правильный треугольник и очень большое $n$. Общая точка всех прямых должна лежать на высоте треугольника. А также она должна лежать чуть ближе к стороне треугольника, чем центр треугольника. А поэтому нет такой точки.

Не понятно. Даже допустим, что эти оба условия действительно обязаны иметь место для правильного треугольника. Что это показывает? По какой именно причине утверждение задачи становится неверным для треугольника? Возьмите скажем $n=3$ или 4. Такие прямые легко построить и для них действительно точка пересечения будет лежать на высоте и ближе к стороне. И в чем противоречие?

[TOTAL]

Leeb в сообщении #1613111 писал(а):

Не понятно. Даже допустим, что эти оба условия действительно обязаны иметь место для правильного треугольника. Что это показывает? По какой именно причине утверждение задачи становится неверным для треугольника? Возьмите скажем $n=3$ или 4. Такие прямые легко построить и для них действительно точка пересечения будет лежать на высоте и ближе к стороне. И в чем противоречие?

Любая прямая должна делить площадь на две равные части. Если прямая параллельна высоте, то она должна идти по высоте. Если прямая параллельна стороне, то она идет не через центр. А при огромном $n$ в пучке есть прямые любого направления.

[Leeb]

TOTAL в сообщении #1613123 писал(а):

Leeb в сообщении #1613111 писал(а):

Не понятно. Даже допустим, что эти оба условия действительно обязаны иметь место для правильного треугольника. Что это показывает? По какой именно причине утверждение задачи становится неверным для треугольника? Возьмите скажем $n=3$ или 4. Такие прямые легко построить и для них действительно точка пересечения будет лежать на высоте и ближе к стороне. И в чем противоречие?

Любая прямая должна делить площадь на две равные части. Если прямая параллельна высоте, то она должна идти по высоте. Если прямая параллельна стороне, то она идет не через центр. А при огромном $n$ в пучке есть прямые любого направления.

Прямые могут не быть параллельны сторонам или высоте.
Но, возможно, я поспешил с выводом. Точнее, изначально я решал (известную) задачу для трех прямых, и почему-то привиделось, что она обобщается на большее число прямых, а оказалось, не обобщается (по крайней мере, той же идеей).
Тогда пусть будет для трех пока, с большим числом нужно еще подумать.

(Оффтоп)

На всякий случай- условие третьей задачи точно верное, и в 5 для октаэдра я тоже уверен.

[Утундрий]

Leeb в сообщении #1613127 писал(а):

для трех прямых,

Примерно понял - как, но столь неизящным методом, что подожду ответов других (ну, или озарения).

[Rak so dna]

Leeb в сообщении #1613127 писал(а):

Тогда пусть будет для трех пока

На уровне рукомахательства: Выберем точку $O$ и произвольную прямую, проходящую через эту точку с любым условным направлением. Тогда существует единственная прямая $L$, параллельная данной, делящая нашу фигуру на две части равной площади. Построим ломаную $A_1A_2A_3$ как показано на рисунке (площади красных секторов равны шестой части площади фигуры). Начнем движение точки $A_2$ по прямой $L$ так, чтобы сохранялись площади секторов. Т.о. ломаная $A_1A_2A_3$ перейдёт в ломаную $A_1'A_2'A_3',$ а красные сектора перейдут в зелёные. Т.к. движение непрерывно, понятно, что существует точка $A$ такая, что при переходе через неё точки $A_2,$ ломаная превратится в прямую. Аналогично строим точку $B$ (как показано ниже). Если точка $A$ совпала с $B,$ то всё доказано, иначе начинаем вращать первоначальную прямую вокруг точки $O,$ пока она не совпадет с первоначальной, но с противоположным направлением. Понятно, что при этом точки $A$ и $B$ поменяются местами (Рис. ниже).

Ну а поскольку вращение непрерывно, и точка $C$ осталась по ту же сторону, что и была (в силу единственности данных трёх прямых), то неизбежна ситуация, когда $A$ совпадёт с $B$ (и еще с $C$ ), поскольку, например точка $A$ обязана пересечь прямую $BC,$ но при этом невозможен случай, чтобы точки $A,B,C$ лежали на одной прямой и не совпадали (в этом случае окажутся нулевые площади некоторых сегментов).

[Leeb]

Rak so dna
Да, примерно так.

Интересно, что, задача 2 имеет решение для трехмерия (но доказывается гораздо сложнее). А вот уже аналогичное утверждение в четырехмерии (для $4$ гиперплоскостей и $16$ кусков)- нерешенная задача.

[Утундрий]

Попробовал порисовать огибающие линий разделения для разных фигурок и втянулся. Не знаю, поможет ли это в доказательстве, но выглядят эти кривули и точки достаточно самобытно. (Тренировался на фигурках из "Тетриса")

[dx_dyf]

svv в сообщении #1613052 писал(а):

Что касается меня, решать не хочется и нет времени, но с интересом бы просмотрел готовые решения, потому что некоторые утверждения противоречат моей интуиции.

Какие утверждения не противоречат вашей интуиции?

[svv]

Под некоторыми, противоречащими интуиции, я имел в виду это:

Leeb в сообщении #1611892 писал(а):

1. Докажите, что любую выпуклую ограниченную фигуру на плоскости можно разделить на $2n$ частей равной площади некоторым набором из $n$ прямых, проходящих через одну точку.

Сейчас я уже уверен, что это неверно. Рассуждал иначе, чем TOTAL, но вывод тот же.

Над другими не думал.

[Rak so dna]

Я считаю, что в первой задаче уже для $n=4$ проблемы, но убедительных доказательств не нашел. Интересно было бы построить контрпример (может правильный треугольник?).

svv а можете показать свои рассуждения, т.к. то, что тут было лично меня не убеждает.