Обобщенное интегрирование

[Doctor Boom]

Известно, что $\frac{1}{2\pi}\int_{-\infty}^{\infty} e^{i\varphi t} d\varphi=\delta (x)$
Обычно доказательство такое, рассмотрим $\frac{1}{2\pi}\int_{-N}^{N} e^{i\varphi t} d\varphi= \frac{\sin(Nt)}{\pi t}$. При $N \rightarrow \infty$ данная функция обладает фильтрующим свойством дельта-функции, и интеграл от нее равен одному, а значит имеем дельтообразную последовательность, сходящуюся к дельта-функции.
Вот только мне не очень нравится, что эта функция в отличных от нуля точках (скажем около $2$ или $10$) имеет не околонулевые значения. Я решил регуляризировать по другому
Рассмотрим малое $\varepsilon$, тогда наш интеграл перепишется в виде $\frac{1}{2\pi}\int_{-\infty}^{0} e^{(i\varphi+\varepsilon) t} d\varphi+\frac{1}{2\pi}\int_{0}^{\infty} e^{(i\varphi-\varepsilon) t} d\varphi=\frac{2\varepsilon}{\pi(t^2+\varepsilon^2)}$
При $\varepsilon \rightarrow 0$ также имеем фильтрующее свойство и единичность интеграла, но теперь в относительно далеких от нуля точках (в сравнении с $\varepsilon$) имеем околонулевые значения (сравнимые с $\varepsilon$). Эта дельта-образная последовательность вообще широко известна, название есть? А то популярна $\frac{\sin(Nt)}{\pi t}$