Геометрическое распределение, вероятность появления герба

[mvb13]

Двое поочередно бросают монету до первого появления герба. Игрок ,у которого выпал герб ,получает от другого игрока 1 рубль. Найти математическое ожидание выигрыша каждого игрока.

$P\{X=k\}=q^{k-1}p $ $k=1,3,5,...$(для игрока бросающего первым) и $k=2,4,6,...$(для игрока бросающего вторым)

$m_X$(для первого игрока)

$$=\frac p q \sum \limits_{k=1,3,5...}kq^k=\frac p q \sum \limits_{k=1}^{\infty}(2k-1)q^{2k-1}$$

Помогите пожалуйста найти сумму ряда.

[Brukvalub]

Вынесите q и проинтегрируйте ряд почленно.

[ewert]

внесите $1/q$ под сумму и расцените то, что получится как производную по $q$ суммы геометрической прогрессии.