Операции с числами

[Dina98]

Даны целые положительные числа $a_1 \le \ldots \le a_n$, где хотя бы одно из чисел четное.

На каждом шаге вычитаем единицу их всех чисел, кроме одного минимального четного (если минимальных четных несколько, то не трогаем только одно их них).
Показать, что все числа уменьшатся на $2n-2$ после $2n$ шагов.

[wrest]

Dina98 в сообщении #1612619 писал(а):

Показать, что все числа уменьшатся на $2n-2$ после $n$ шагов.

После первого шага уменьшатся не все числа, так что для $n=1$ утверждение неверно.
Да и вообще неверно.

[sergey zhukov]

Dina98
Если "все числа уменьшаются на $2n-2$" значит, что каждое из них так уменьшается, то этого не может быть (каждое число уменьшается в итоге не более, чем на $n$). Если же это значит, что все числа в сумме уменьшаются на $2n-2$, то этого тоже не может быть: на каждом этапе происходит общий вычет $n-1$, а всего этих вычетов будет $n(n-1)$.

Например, возьмем три ($n=3$) числа, равных $6$. Тогда за три вычета получим:
6, 6, 6
6, 5, 5
6, 4, 4
5, 3, 4

Или я что-то не так понял?

[Dina98]

$2n$ шагов, ошиблась.

6, 6, 6
6, 5, 5
6, 4, 4
5, 3, 4
4, 2, 4
3, 2, 3
2, 2, 2
Всего 6 шагов, все уменьшились на $2n-2 = 4$.

[Dendr]

Все равно не получается: В среднем - да, сумма убыла на $2n(n-1)$, то есть средняя убыль равна $2n-2$. Но

$$(5, 8) \rightarrow (4, 8) \rightarrow (4, 7) \rightarrow (4, 6) \rightarrow (4, 5)$$

$$(9, 12, 17) \rightarrow (8, 12, 16) \rightarrow (8, 11, 15) \rightarrow (8, 10, 14) \rightarrow (8, 9, 13) \rightarrow (8, 8, 12) \rightarrow (7, 8, 11)$$

[Geen]

Возьмём двойку и остальные числа больше чем $3n$.

[Dina98]

Второе предложение в начальном тексте: разность между максимальным и минимальным числом не более единицы.

[EUgeneUS]

wrest в сообщении #1612621 писал(а):

После первого шага уменьшатся не все числа, так что для $n=1$ утверждение неверно.

Для $n=1$ имеем:
1. Единственное число - четное.
2. Оно же минимальное четное.
3. Значит оно не уменьшается.
$2n-2=0$ при $n=1$.
Всё верно.

[mihaild]

Dina98 в сообщении #1612640 писал(а):

Второе предложение в начальном тексте: разность между максимальным и минимальным числом не более единицы

Т.е. у нас по итогу сколько-то чисел равных $k$, оставшиеся равны $k + 1$?

[TOTAL]

Dina98 в сообщении #1612640 писал(а):

Второе предложение в начальном тексте: разность между максимальным и минимальным числом не более единицы.

$$(5, 6) \rightarrow (4, 6) \rightarrow (4, 5) \rightarrow (4, 4) \rightarrow (4, 3)$$

[Dina98]

Монотонность должна сохраняться:

(5,6) -> (4,6) -> (4,5) -> (4,4) -> (3,4)

Каждая позиция уменьшилась на 2.

[wrest]

Dina98 в сообщении #1612701 писал(а):

Монотонность должна сохраняться:

Так этого не в условиях. Там же у вас "

Dina98 в сообщении #1612619 писал(а):

если минимальных четных несколько, то не трогаем только одно их них

Написали бы "самое правое" вместо "только одно из".

Я так до конца и не понял что именно надо показать, и каковы начальные условия. Например, это

Dina98 в сообщении #1612640 писал(а):

разность между максимальным и минимальным числом не более единицы.

куда-то надо приткнуть?

[Dina98]

Изначально разность между максимальным и минимальным числом не более единицы.
Нужно доказать, что после 2n шагов все позиции уменьшатся на 2n-2.

Я не могу внести изменения в начальный текст задачи.

[wrest]

Dina98 в сообщении #1612705 писал(а):

все позиции уменьшатся на 2n-2.

Что это значит? Сумма уменьшится или каждое число?

[mihaild]

Dina98, напишите, пожалуйста, полностью и точно условие задачи.