Функция в п.1. возвращает точку в зависимости от аргумента n
Какая функция-то? В тексте вообще не упоминаются в явном виде никакие функции.
Вы же сами написали, что это функция:
А здесь
![$\bar x$ $\bar x$](https://dxdy-01.korotkov.co.uk/f/c/9/7/c97fba47d1059b5c2d3fa5f52768a2a782.png)
бесконечная последовательность?
Да, т.е.
функция ![$\mathbb N \to \mathbb R$ $\mathbb N \to \mathbb R$](https://dxdy-04.korotkov.co.uk/f/f/9/5/f95888a0b18437628130743641784df882.png)
.
И тоже есть предельный переход?
Именно предельного перехода нет ни здесь, ни в оригинальной формулировке.
Стремление к нулю и получение точки подразумевает предельный переход. Про предельный переход в этой теореме также написал
epros:
из отрезка мы получаем бесконечно малое - точку
В пределе получаем. Вы ведь, вроде, против пределов ничего не имели?
Сейчас удобно проверять свою логику с помощью AI
Это неудачная шутка или троллинг?
Это не шутка и не троллинг. Кажется естественным, что AI должен быть наиболее силён в проверке математических рассуждений потому что правила строгие и AI должен смочь однозначно судить прав ли человек или сделал ошибку.
-- 20.10.2023, 16:22 --Подытожу текущее понимание теоремы Кантора.
Напомню, речь идёт про эту теорему:
Цитата:
1. Несчетность множества точек отрезка
![$[ 0,1 ]$ $[ 0,1 ]$](https://dxdy-01.korotkov.co.uk/f/0/5/3/05315b4d0cfb8fc59f042ea67323ef4d82.png)
Множество
![$A$ $A$](https://dxdy-02.korotkov.co.uk/f/5/3/d/53d147e7f3fe6e47ee05b88b166bd3f682.png)
называется несчетным, если оно неэквивалентно множеству натуральных чисел.
Теорема Кантора ... : Множество точек отрезка
![$[0,1]$ $[0,1]$](https://dxdy-03.korotkov.co.uk/f/a/c/f/acf5ce819219b95070be2dbeb8a671e982.png)
несчетно.
↓Предположим, что множество точек
![$[0,1]$ $[0,1]$](https://dxdy-03.korotkov.co.uk/f/a/c/f/acf5ce819219b95070be2dbeb8a671e982.png)
счетно:
![$x_1, x_2, \; \ldots, \; x_n, \; \ldots \; .$ $x_1, x_2, \; \ldots, \; x_n, \; \ldots \; .$](https://dxdy-02.korotkov.co.uk/f/5/b/2/5b27f153ed0bc45cdc94506a6fa836a282.png)
Разделим отрезок
![$[0,1]$ $[0,1]$](https://dxdy-03.korotkov.co.uk/f/a/c/f/acf5ce819219b95070be2dbeb8a671e982.png)
на
![$3$ $3$](https://dxdy-02.korotkov.co.uk/f/5/d/c/5dc642f297e291cfdde8982599601d7e82.png)
равные части:
![$[0, \frac {1}{3}]; [\frac {1}{3}; \frac {2}{3}]; [\frac {2}{3}; 1]$ $[0, \frac {1}{3}]; [\frac {1}{3}; \frac {2}{3}]; [\frac {2}{3}; 1]$](https://dxdy-04.korotkov.co.uk/f/f/5/a/f5ae0ec56d122c2d685a2c8ce1ecea1182.png)
, и выберем тот из отрезков, который не содержит
![$x_1$ $x_1$](https://dxdy-03.korotkov.co.uk/f/2/7/7/277fbbae7d4bc65b6aa601ea481bebcc82.png)
ни внутри, ни на границе. Обозначим его через
![$\Delta_1$ $\Delta_1$](https://dxdy-04.korotkov.co.uk/f/3/1/b/31bd442a51e98ea2b56b6ae9dbbaef6f82.png)
, т.е.
![$x_1$ $x_1$](https://dxdy-03.korotkov.co.uk/f/2/7/7/277fbbae7d4bc65b6aa601ea481bebcc82.png)
не принадлежит
![$\Delta_1$ $\Delta_1$](https://dxdy-04.korotkov.co.uk/f/3/1/b/31bd442a51e98ea2b56b6ae9dbbaef6f82.png)
.
![$\Delta_1$ $\Delta_1$](https://dxdy-04.korotkov.co.uk/f/3/1/b/31bd442a51e98ea2b56b6ae9dbbaef6f82.png)
также поделим на
![$3$ $3$](https://dxdy-02.korotkov.co.uk/f/5/d/c/5dc642f297e291cfdde8982599601d7e82.png)
равные части и выберем ту часть, которая не содержит
![$x_2$ $x_2$](https://dxdy-02.korotkov.co.uk/f/9/5/d/95d239357c7dfa2e8d1fd21ff6ed5c7b82.png)
ни внутри, ни на границе. Обозначим эту часть
![$\Delta_2$ $\Delta_2$](https://dxdy-01.korotkov.co.uk/f/c/0/3/c03dabb1b6c86715bb5f6826dc5ecb0e82.png)
, т.е.
![$x_2$ $x_2$](https://dxdy-02.korotkov.co.uk/f/9/5/d/95d239357c7dfa2e8d1fd21ff6ed5c7b82.png)
не принадлежит
![$\Delta_ 2$ $\Delta_ 2$](https://dxdy-01.korotkov.co.uk/f/4/6/b/46be2364a0b57411aa279f30a657f46882.png)
, и
![$\Delta_2\subset \Delta _1$ $\Delta_2\subset \Delta _1$](https://dxdy-03.korotkov.co.uk/f/a/a/5/aa57e067b6977e77c3f0745d922e2e3d82.png)
. Продолжая эту процедуру, мы получим последовательность вложенных друг в друга отрезков
![$\Delta_1\supset \Delta_2\supset \ldots\supset \Delta_{n-1}\supset \Delta_n\supset \ldots \; .$ $\Delta_1\supset \Delta_2\supset \ldots\supset \Delta_{n-1}\supset \Delta_n\supset \ldots \; .$](https://dxdy-03.korotkov.co.uk/f/2/5/8/2588b31184bc4c1ab391727dc238ff1282.png)
Причем длины этих отрезков стремятся к нулю и
![$\forall n \; x_n\notin \Delta_n$ $\forall n \; x_n\notin \Delta_n$](https://dxdy-04.korotkov.co.uk/f/7/0/5/7050b7bec374801713dc747aa9f433a382.png)
. В силу принципа вложенных отрезков существует точка
![$c\in \Delta_n$ $c\in \Delta_n$](https://dxdy-02.korotkov.co.uk/f/d/1/4/d1488e1ff47c849c211de64e7cc9529382.png)
для
![$\forall n$ $\forall n$](https://dxdy-04.korotkov.co.uk/f/7/6/d/76d5e2672e5f0c3fd13eb0bdd53de4c082.png)
, причем
![$c\ne x_n \; \forall n$ $c\ne x_n \; \forall n$](https://dxdy-02.korotkov.co.uk/f/d/f/c/dfc2b1ca49df89191d110c59b34cab0082.png)
. А следовательно, точка
![$c$ $c$](https://dxdy-04.korotkov.co.uk/f/3/e/1/3e18a4a28fdee1744e5e3f79d13b9ff682.png)
в исходном списке точек отрезка отсутствует, т.е. точка
![$c$ $c$](https://dxdy-04.korotkov.co.uk/f/3/e/1/3e18a4a28fdee1744e5e3f79d13b9ff682.png)
оказалась незанумерованной. Это противоречие доказывает теорему. ↑
Вот конкретно, где я вижу ошибку в этом доказательстве. Здесь есть аргумент n, стремящийся к бесконечности, и два шага процедуры:
1. Выбор точки из множества в зависимости от аргумента n.
2. Построение системы вложенных отрезков в зависимости от выбранной точки.
Первый пункт можно обозначить функцией
![$f(n)$ $f(n)$](https://dxdy-04.korotkov.co.uk/f/3/d/4/3d425a215e8eeb2a056f553633aaae4a82.png)
, которая возвращает точку из множества. С учётом второго пункта это будет сложная функция
![$g(f(n))$ $g(f(n))$](https://dxdy-03.korotkov.co.uk/f/2/1/8/21851391a89695bffc8ac83c6e4434e382.png)
, функция
![$g$ $g$](https://dxdy-04.korotkov.co.uk/f/3/c/f/3cf4fbd05970446973fc3d9fa3fe3c4182.png)
возвращает длину отрезка. Совершив предельный переход, мы рассчитываем получить отрезок нулевой длины, то есть точку, которой нет в исходном множестве. Но предельный переход для этой сложной функции неопределён, потому что не определён предельный переход для функции
![$f(n)$ $f(n)$](https://dxdy-04.korotkov.co.uk/f/3/d/4/3d425a215e8eeb2a056f553633aaae4a82.png)
.
Вывод: доказательство неверно.