2014 dxdy logo

Научный форум dxdy

Математика, Физика, Computer Science, Machine Learning, LaTeX, Механика и Техника, Химия,
Биология и Медицина, Экономика и Финансовая Математика, Гуманитарные науки




Начать новую тему Ответить на тему На страницу Пред.  1 ... 3, 4, 5, 6, 7
 
 Re: Что дала актуальная бесконечность математике?
Сообщение05.10.2023, 11:24 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


16/07/14
8452
Цюрих
talash в сообщении #1612510 писал(а):
А здесь $\bar x$ бесконечная последовательность?
Да, т.е. функция $\mathbb N \to \mathbb R$.
talash в сообщении #1612510 писал(а):
И тоже есть предельный переход?
Именно предельного перехода нет ни здесь, ни в оригинальной формулировке.
Есть теорема: если $\bar \Delta$ - последовательность отрезков (т.е. функция $\mathbb N \to \text{множество отрезков}$), причем $\forall i: \bar \Delta(i + 1) \subseteq \bar \Detla(i)$, то $\exists x \forall i: x \in \Delta(i + 1)$.
talash в сообщении #1612510 писал(а):
Функция в п.1. возвращает точку в зависимости от аргумента n
Какая функция-то? В тексте вообще не упоминаются в явном виде никакие функции.
talash в сообщении #1612510 писал(а):
Сейчас удобно проверять свою логику с помощью AI
Это неудачная шутка или троллинг?

 Профиль  
                  
 
 Re: Что дала актуальная бесконечность математике?
Сообщение20.10.2023, 17:20 


01/09/14
402
mihaild в сообщении #1612528 писал(а):
talash в сообщении #1612510 писал(а):
Функция в п.1. возвращает точку в зависимости от аргумента n
Какая функция-то? В тексте вообще не упоминаются в явном виде никакие функции.

Вы же сами написали, что это функция:
mihaild в сообщении #1612528 писал(а):
talash в сообщении #1612510 писал(а):
А здесь $\bar x$ бесконечная последовательность?
Да, т.е. функция $\mathbb N \to \mathbb R$.


mihaild в сообщении #1612528 писал(а):
talash в сообщении #1612510 писал(а):
И тоже есть предельный переход?
Именно предельного перехода нет ни здесь, ни в оригинальной формулировке.

Стремление к нулю и получение точки подразумевает предельный переход. Про предельный переход в этой теореме также написал epros:
epros в сообщении #1608968 писал(а):
talash в сообщении #1608940 писал(а):
из отрезка мы получаем бесконечно малое - точку
В пределе получаем. Вы ведь, вроде, против пределов ничего не имели?


mihaild в сообщении #1612528 писал(а):
talash в сообщении #1612510 писал(а):
Сейчас удобно проверять свою логику с помощью AI
Это неудачная шутка или троллинг?

Это не шутка и не троллинг. Кажется естественным, что AI должен быть наиболее силён в проверке математических рассуждений потому что правила строгие и AI должен смочь однозначно судить прав ли человек или сделал ошибку.

-- 20.10.2023, 16:22 --

Подытожу текущее понимание теоремы Кантора.

Напомню, речь идёт про эту теорему:
Vladimir Pliassov в сообщении #1608035 писал(а):
Цитата:
1. Несчетность множества точек отрезка $[ 0,1 ]$
Множество $A$ называется несчетным, если оно неэквивалентно множеству натуральных чисел.

Теорема Кантора ... : Множество точек отрезка $[0,1]$ несчетно.

↓Предположим, что множество точек $[0,1]$ счетно: $x_1, x_2, \; \ldots, \;  x_n, \; \ldots \; .$ Разделим отрезок $[0,1]$ на $3$ равные части: $[0, \frac {1}{3}]; [\frac {1}{3}; \frac {2}{3}]; [\frac {2}{3}; 1]$, и выберем тот из отрезков, который не содержит $x_1$ ни внутри, ни на границе. Обозначим его через $\Delta_1$, т.е. $x_1$ не принадлежит $\Delta_1$. $\Delta_1$ также поделим на $3$ равные части и выберем ту часть, которая не содержит $x_2$ ни внутри, ни на границе. Обозначим эту часть $\Delta_2$, т.е. $x_2$ не принадлежит $\Delta_ 2$, и $\Delta_2\subset \Delta _1$. Продолжая эту процедуру, мы получим последовательность вложенных друг в друга отрезков $\Delta_1\supset \Delta_2\supset \ldots\supset \Delta_{n-1}\supset \Delta_n\supset \ldots \; .$ Причем длины этих отрезков стремятся к нулю и $\forall n \; x_n\notin \Delta_n$. В силу принципа вложенных отрезков существует точка $c\in \Delta_n$ для $\forall n$, причем $c\ne x_n \; \forall n$. А следовательно, точка $c$ в исходном списке точек отрезка отсутствует, т.е. точка $c$ оказалась незанумерованной. Это противоречие доказывает теорему. ↑

Вот конкретно, где я вижу ошибку в этом доказательстве. Здесь есть аргумент n, стремящийся к бесконечности, и два шага процедуры:
1. Выбор точки из множества в зависимости от аргумента n.
2. Построение системы вложенных отрезков в зависимости от выбранной точки.
Первый пункт можно обозначить функцией $f(n)$, которая возвращает точку из множества. С учётом второго пункта это будет сложная функция $g(f(n))$, функция $g$ возвращает длину отрезка. Совершив предельный переход, мы рассчитываем получить отрезок нулевой длины, то есть точку, которой нет в исходном множестве. Но предельный переход для этой сложной функции неопределён, потому что не определён предельный переход для функции $f(n)$.
Вывод: доказательство неверно.

 Профиль  
                  
 
 Re: Что дала актуальная бесконечность математике?
Сообщение20.10.2023, 17:31 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


16/07/14
8452
Цюрих
talash в сообщении #1614099 писал(а):
Стремление к нулю и получение точки подразумевает предельный переход
Нет, не подразумевает.
talash в сообщении #1614099 писал(а):
Про предельный переход в этой теореме также написал epros
Это был жаргон. На самом деле никакого предела там нет, а есть обыкновенное пересечение семейства множеств.
talash в сообщении #1614099 писал(а):
Кажется естественным, что AI должен быть наиболее силён в проверке математических рассуждений потому что правила строгие и AI должен смочь однозначно судить прав ли человек или сделал ошибку
Может быть и кажется, но это совершенно неверно. Никогда не полагайтесь на ответы чатбота в тех местах, которые Вы не можете легко проверить сами. Говорю Вам как человек, получающий за разработку чатбота зарплату.

Вот конкретно, где я вижу ошибки в Вашем разборе.
talash в сообщении #1614099 писал(а):
Здесь есть аргумент n, стремящийся к бесконечности
Нету.
talash в сообщении #1614099 писал(а):
и два шага процедуры
Тоже нету.

 Профиль  
                  
 
 Re: Что дала актуальная бесконечность математике?
Сообщение20.10.2023, 19:38 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


28/09/06
10440
talash в сообщении #1614099 писал(а):
Но предельный переход для этой сложной функции неопределён, потому что не определён предельный переход для функции $f(n)$.

Вообще-то $g=\frac{1}{3^n}$, так что предел при $n\to\infty$ очевиден, а Вы сейчас ерунду сказали.

(Оффтоп)

Или, скорее, Вы нам здесь просто намеренно мозги пудрите.

 Профиль  
                  
Показать сообщения за:  Поле сортировки  
Начать новую тему Ответить на тему  [ Сообщений: 94 ]  На страницу Пред.  1 ... 3, 4, 5, 6, 7

Модераторы: Модераторы Математики, Супермодераторы



Кто сейчас на конференции

Сейчас этот форум просматривают: нет зарегистрированных пользователей


Вы не можете начинать темы
Вы не можете отвечать на сообщения
Вы не можете редактировать свои сообщения
Вы не можете удалять свои сообщения
Вы не можете добавлять вложения

Найти:
Powered by phpBB © 2000, 2002, 2005, 2007 phpBB Group