Вопрос по доказательству из учебника Беклимишева

[Verbery]

Всем привет!
Возник вопрос по доказательству Предложения 2 из Главы V параграфа 3 (ранг матрицы) п.2, оно короткое, поэтому приведу его полностью:
"Любые $n + 1$ столбцов высоты n линейно зависимы. Любые $n + 1$ строк длины $n$ линейно зависимы
Доказательство. Пусть это столбцы $a_1, . . . , a_n, a_{n+1}$. Если первые $n$ столбцов линейно зависимы, то утверждение очевидно. В противном случае они составляют невырожденную матрицу порядка $n$, и по теореме 2 § 2 столбец $a_{n+1}$ раскладывается по ним. Вторая часть этого предложения доказывается точно так же".

Там разбирается только два случая, почему не рассматривается случай $n+1$ столбцов линейно независимы? Это как сказать "n-1 векторов из n линейно независимы - значит n-й вектор можно разложить по этим векторам". Откуда это должно быть очевидно?

[sergey zhukov]

Verbery
По моему, тут сказано, что если к квадратной матрице добавить еще одну строку или еще один столбец (и она перестанет быть квадратной), то линейная независимость станет невозможной. Разве это не очевидно?

[dgwuqtj]

Так в теореме 2 из параграфа 2 должно быть написано, что линейно независимых векторов не меньше, чем размерность.

[Евгений Машеров]

Verbery в сообщении #1612349 писал(а):

Там разбирается только два случая, почему не рассматривается случай $n+1$ столбцов линейно независимы?

Потому, что есть только два случая применительно к n столбцам. Либо они линейно зависимы, либо нет.
Да-да, нет-нет, а всё прочее от Лукавого.
И для каждого из этих двух возможных случаев доказывается, что $n+1$ столбец линейно зависимы.

[lel0lel]

Тут суть такая, что если векторов-строк или векторов-столбцов у нас больше, чем количество компонент в этих строках (столбцах), то есть их длина (высота). То такие наборы будут обязательно линейно-зависимыми. В доказательстве рассматривают $n+1$ вектор с $n$ компонентами, пытаясь как бы построить из них линейно независимую систему. Необходимо, чтобы какие-то $n$ векторов были линейно независимы (что это возможно мы знаем, пример единичные столбцы), иначе вся система была бы лз. Тогда оставшийся вектор (если он не нуль-вектор, в этом случае лз системы очевидна) будет нетривиальной линейной комбинацией выбранных $n$ векторов, коэффициенты этой линейной комбинации можно определить, решая неоднородную систему с невырожденной матрицей, ранее, вероятно, было показано, что существует единственное решение. В общем получить систему $n+1$ векторов с $n$ компонентами не получается, стало быть её нет. В общем структура доказательства похожа на доказательство от противного.

[Verbery]

dgwuqtj в сообщении #1612353 писал(а):

Так в теореме 2 из параграфа 2 должно быть написано, что линейно независимых векторов не меньше, чем размерность.

Это очевидно только из доказательсва этой теоремы, так как там используется обратная матрица, которая существует только для квадратной. А из формулировки это неочевидно. Вот так формулируется эта теорема: "Пусть A — невырожденная матрица порядка n. Тогда любой столбец высоты n раскладывается по столбцам A, причем коэффициенты разложения однозначно определены"

Евгений Машеров в сообщении #1612355 писал(а):

Потому, что есть только два случая применительно к n столбцам. Либо они линейно зависимы, либо нет.
Да-да, нет-нет, а всё прочее от Лукавого.
И для каждого из этих двух возможных случаев доказывается, что $n+1$ столбец линейно зависимы.

Вот доказательство для случая, когда $n$ независимы, неубедительно, так как не было введено по-нормальному, что невырожденная матрица может быть только квадратной

Поправка Только сейчас понял, что "невырожденная матрица порядка n" это по определению квадратная матрица, ведь порядок есть только у квадратной матрицы. Тогда вопрос можно считать закрытым. Всем спасибо

[EminentVictorians]

Verbery в сообщении #1612349 писал(а):

"Любые $n + 1$ столбцов высоты n линейно зависимы.

Можно еще так.

Столбец высоты $n$ - это элемент пространства $\mathbb K ^ n$, которое, как известно, имеет размерность $n$.
$n+1$ таких столбцов порождают некоторое подпространство в $\mathbb K ^ n$.
Если бы они были линейно независимыми, они бы породили пространство размерности $n+1$. А это невозможно, т.к. размерность подпространства всегда не превосходит размерности объемлющего пространства.
Значит они линейно зависимы.

Второе утверждение аналогично.

[Евгений Машеров]

Verbery в сообщении #1612360 писал(а):

Вот доказательство для случая, когда $n$ независимы, неубедительно, так как не было введено по-нормальному, что невырожденная матрица может быть только квадратной

Поправка Только сейчас понял, что "невырожденная матрица порядка n" это по определению квадратная матрица, ведь порядок есть только у квадратной матрицы. Тогда вопрос можно считать закрытым. Всем спасибо

Там явно сказано "столбцов высоты n". То есть nxn - квадрат.