Я это знаю и поэтому не понял зачем Вы мне это написали.
Затем, что непонятно, какие критерии типа большей строгости Вы нашли во введении теории множеств в конце 19 века. Просто это слово приобрело популярность в связи с тем, что им оказалось возможным называть что угодно.
А что касается "оснований математики", то они отнюдь не в этом слове, а в аксиоматике, которая возникла далеко не сразу. И вообще, если уж искать основания математики, то лучше копать в области reverse mathematics, а не в Канторовском неформальном "учении о множествах".