Произведение неограниченной функции и бесконечно малой функц

[Ёж]

Произведение бесконечно малой функции при $x\to a$ и ограниченной функции в окрестности точки $a$, есть бесконечно малая функция при $x\to a$.

Произведение бесконечно малой функции при $x\to a$ и бесконечно большой функции при $x\to a$, есть неопределенность вида $0\cdot \infty$.

Будет ли произведение бесконечно малой функции при $x\to a$ и неограниченной функции в окрестности точки $a$, так же неограниченной функцией?

[Geen]

Ёж в сообщении #1612158 писал(а):

бесконечно большой функции

Ёж в сообщении #1612158 писал(а):

неограниченной функции

Напомните, пожалуйста, определения этих функций. И в чём между ними разница.

[Ёж]

Функция $f(x)$ называется бесконечно большой функцией при $x\to a$, если $\lim \limits_{x\to a} f(x)=\infty$, т.е. $\forall K >0 \exists \delta>0: \forall x, 0<|x-a|<\delta \Rightarrow |f(x)|>K.$

Функция $f(x)$ называется неограниченной функцией на некотором промежутке, если $\forall K >0 \exists x_1 : |f(x_1)|>K.$

[mihaild]

Какие примеры бесконечно больших, и неограниченных, но не бесконечно больших функций, Вы знаете?

[Geen]

Ёж в сообщении #1612160 писал(а):

Функция $f(x)$ называется неограниченной функцией

А что эта функция делает в точке $a$?

[Ёж]

Geen в сообщении #1612178 писал(а):

Ёж в сообщении #1612160 писал(а):

Функция $f(x)$ называется неограниченной функцией

А что эта функция делает в точке $a$?

Неограниченно растет

-- Вт окт 03, 2023 13:15:07 --

mihaild в сообщении #1612177 писал(а):

Какие примеры бесконечно больших, и неограниченных, но не бесконечно больших функций, Вы знаете?

не совсем понял

[mihaild]

Ёж в сообщении #1612184 писал(а):

не совсем понял

Вы привели определения. Вы можете привести пример объектов, удовлетворяющих этим определениям?
А то может все функции на самом деле ограничены, и говорить не о чем.

[Geen]

Ёж в сообщении #1612184 писал(а):

Неограниченно растет

В Вашем определении это никак не отражено.

[Ёж]

Geen в сообщении #1612191 писал(а):

Ёж в сообщении #1612184 писал(а):

Неограниченно растет

В Вашем определении это никак не отражено.

Вроде понял ошибку. Хотел написать, что
будет ли произведение бесконечно малой функции при $x\to a$ и неограниченной функции в точке $a$, так же неограниченной функцией?

[Dan B-Yallay]

Ёж
Чем отличаются бесконечно большие функции от неограниченных?
При $x \to a $

[Ёж]

Dan B-Yallay в сообщении #1612269 писал(а):

Ёж
Чем отличаются бесконечно большие функции от неограниченных?
При $x \to a $

Если правильно понял, то
$f(x)=\frac{1}{x}$ при $x \to 0 $ неограниченная и бесконечно большая функция, а
$f(x)=\frac{1}{x}\sin \frac{1}{x}$ при $x \to 0$ неограниченная, но не бесконечно большая функция.

[Dan B-Yallay]

Верно.
Давайте теперь попробуем умножить неограниченную на следующие 3 бесконечно малые функции при $x \to 0$
1) $u(x) = x$
2) $u(x) = \sqrt x$
3) $u(x) = x^2$
и посмотрим, какими будут результаты

[Ёж]

Dan B-Yallay в сообщении #1612275 писал(а):

Верно.
Давайте теперь попробуем умножить неограниченную на следующие 3 бесконечно малые функции при $x \to 0$
1) $u(x) = x$
2) $u(x) = \sqrt x$
3) $u(x) = x^2$
и посмотрим, какими будут результаты

Разные ответы получаются. Спасибо!

[lel0lel]

Поскольку бесконечно большая также является неограниченной, то получается ответ был известен из стартового поста. И ещё, бесконечно малую из любой функции можно получить всегда, причём во всех точках области определения. Нужно умножить на бесконечно малую бесконечно большого порядка малости, то есть на нуль-функцию.