Найти предел последовательности - обоснование

[artempalkin]

Нужно мне найти предел такой последовательности: $n\left(1-\frac{\ln n}{ n}\right)^n$

Я поступаю так:

$\lim\limits_{n\to\infty}n\left(1-\frac{\ln n}{ n}\right)^n=\lim\limits_{n\to\infty}n\left(1-\frac{\ln n}{n}\right)^{-\frac{n}{\ln n}(-\ln n)}=\lim\limits_{n\to\infty}ne^{-\ln n}=1$

В целом я не сомневаюсь, что это правильно, хотя, возможно, стоило бы. Потому что я до конца не могу объяснить вот этого перехода:

$\lim\limits_{n\to\infty}n\left(1-\frac{\ln n}{n}\right)^{-\frac{n}{\ln n}(-\ln n)}=\lim\limits_{n\to\infty}n\left[\lim\limits_{k\to\infty}\left(1-\frac{\ln k}{k}\right)^{-\frac{k}{\ln k}\right]^{(-\ln n)}$

По сути ведь я делаю именно это. Предел в квадратных скобках равен $e$, в этом сомнений нет. Но почему я могу "пронести" предел через множитель $n$, который стремится к бесконечности, и под степень, которая стремится к минус бесконечности?

Подскажите, как такой ход обосновывается?

[RIP]

Записать $n\exp\left(n\ln\left(1-\frac{\ln n}{n}\right)\right)$ и разложить логарифм по Тейлору.

[artempalkin]

RIP в сообщении #1612127 писал(а):

Записать $n\exp\left(n\ln\left(1-\frac{\ln n}{n}\right)\right)$ и разложить логарифм по Тейлору.

Да, этот подход позволяет более "законно" получить правильный результат, спасибо. Но насколько "законен" мой подход и есть ли у него какое-то обозримое обоснование?

[Null]

artempalkin в сообщении #1612130 писал(а):

Но насколько "законен" мой подход и есть ли у него какое-то обозримое обоснование?

Попробуйте $n^n\left(1-\frac{\ln n}{ n}\right)^{n^2}$

[artempalkin]

Null в сообщении #1612133 писал(а):

Попробуйте $n^n\left(1-\frac{\ln n}{ n}\right)^{n^2}$

$n^n\left(1-\frac{\ln n}{ n}\right)^{n^2}n^n\left(1-\frac{\ln n}{ n}\right)^{-\frac n{\ln n}(-n\ln n)}\sim n^ne^{-n\ln n}=1$ вроде так же получается, но опять же основания неясны...

[mihaild]

А если теперь всё честно записать?

$$\ln \left(n^n \left(1 - \frac{\ln n}{n}\right)^{n^2}\right) = n \ln n + n^2 \ln \left(1 - \frac{\ln n}{n}\right) = n \ln n - n^2 \cdot \frac{\ln n}{n} \cdot \left(1 + \frac{\ln n}{2n} + O\left(\left(\frac{\ln n}{n}\right)^2\right)\right)$$

[artempalkin]

mihaild в сообщении #1612179 писал(а):

А если теперь всё честно записать?

$$\ln n^n \left(1 - \frac{\ln n}{n}\right)^{n^2} = n \ln n + n^2 \ln \left(1 - \frac{\ln n}{n}\right) = n \ln n - n^2 \cdot \frac{\ln n}{n} \cdot \left(1 + \frac{\ln n}{2n} + O\left(\left(\frac{\ln n}{n}\right)^2\right)\right)$$

Оо, понимаю... то есть, честно говоря, мой ход абсолютно нелегален...