Нужно мне найти предел такой последовательности:

Я поступаю так:

В целом я не сомневаюсь, что это правильно, хотя, возможно, стоило бы. Потому что я до конца не могу объяснить вот этого перехода:
![$\lim\limits_{n\to\infty}n\left(1-\frac{\ln n}{n}\right)^{-\frac{n}{\ln n}(-\ln n)}=\lim\limits_{n\to\infty}n\left[\lim\limits_{k\to\infty}\left(1-\frac{\ln k}{k}\right)^{-\frac{k}{\ln k}\right]^{(-\ln n)}$ $\lim\limits_{n\to\infty}n\left(1-\frac{\ln n}{n}\right)^{-\frac{n}{\ln n}(-\ln n)}=\lim\limits_{n\to\infty}n\left[\lim\limits_{k\to\infty}\left(1-\frac{\ln k}{k}\right)^{-\frac{k}{\ln k}\right]^{(-\ln n)}$](https://dxdy-04.korotkov.co.uk/f/b/5/9/b592babf6975232993302f5850b660ff82.png)
По сути ведь я делаю именно это. Предел в квадратных скобках равен

, в этом сомнений нет. Но почему я могу "пронести" предел через множитель

, который стремится к бесконечности, и под степень, которая стремится к минус бесконечности?
Подскажите, как такой ход обосновывается?