Ошибка в ЛЛ-1

[lel0lel]

manul91 в сообщении #1611999 писал(а):

Почему? Домен $L$ это значения аргумента $|\bf{v}| \geq 0$. Значит вокруг нуля, для производной имеет смысл предел только с положительной стороны

Это я не понял. Где положительная сторона в окрестности нуля трехмерного пространства скоростей? Давайте разберёмся с одномерным случаем. Уравнение Эйлера - Лагранжа

$$\frac{d}{dt}\frac{\partial L}{\partial v_x}-\frac{\partial L}{\partial x}=0$$

Предлагается рассмотреть для свободного движения $L=|v_x|$. Как быть с производной в нуле?

[manul91]

lel0lel
Да вы правы... Что-то затупил.
Тогда в духе обсуждения, изменяю предложение - предлагаю рассмотреть для свободного движения частицы константную функцию $L=17$ (или, например, $L=m$).
Является ли это функциeй из $v^2$? Является. Отличная, симметричная относно направлений пространства функция.
Имеется ли производная $\frac{\partial L}{\partial v_x}$? Имеется для любого $v$ - равна нулю.
Константный ноль $\frac{\partial L}{\partial v_x}$, также является и функцей из $v$ (и из $t$ тоже).
Значит далее и ее производная по времени $\frac{d}{dt}\frac{\partial L}{\partial v_x}$ тоже будет равной нулю, как требуется, и она является решением у-я Лагранжа для свободной частицы.
Тем не менее $v$ может иметь любой зависимости от времени.

[Geen]

manul91 в сообщении #1612109 писал(а):

предлагаю рассмотреть для свободного движения частицы константную функцию $L=17$ (или, например, $L=m$).

Ну нельзя же настолько принципом Маха увлекаться

[zykov]

manul91 в сообщении #1612109 писал(а):

предлагаю рассмотреть для свободного движения частицы константную функцию $L=17$

Не соответствует наблюдаемым фактам.

[manul91]

zykov в сообщении #1612113 писал(а):

Не соответствует наблюдаемым фактам.

Это само собой. Но в данном месте ЛЛ вроде бы обосновывают (выводят) закон движения свободной частицы "чисто математически", не ссылаясь на наблюдений.
Иначе конечно, ее лагранжиан просто можно было бы постулировать с самого начала - что он должен быть таким-то и таким-то, чтобы сходился как с у-ем Лагранжа, так и с наблюдаемым фактам....

[Dedekind]

manul91 в сообщении #1612109 писал(а):

Тогда в духе обсуждения, изменяю предложение - предлагаю рассмотреть для свободного движения частицы константную функцию $L=17$ (или, например, $L=m$).
Является ли это функциeй из $v^2$?

С точки зрения математики - является. Но такая функция непригодна не только физически, но и математически. Функция Лагранжа нужна для фиксации информации о состоянии какой-то системы. Для разных состояний - разные значения функции. Если же она имеет одинаковое значение для любого состояния, то это означает, что функция не зависит от состояния системы (не зависит от скорости свободной частицы, в данном случае) и для описания последней бесполезна.

[Geen]

manul91 в сообщении #1612114 писал(а):

Но в данном месте ЛЛ вроде бы обосновывают (выводят) закон движения свободной частицы "чисто математически", не ссылаясь на наблюдений.

Да, но если Лагранжиан не зависит ни от одной переменной теории, то он не соответствует этой теории, математически

[manul91]

Dedekind
Функция Лагранжа не должна зависеть от любых аспектах состояния. В случае свободной частицы она не зависит существенным образом например, от ее цвета. Но это не делает ее "бесполезной".
Еще раз дело в том что ЛЛ в том месте пытаются вывести постоянство скорости частицы как раз чисто математически, без каких-нибудь ссылок на реальность. А чисто математически - не проходит.
Сказали бы например - "кроме постоянства для скорости ($L \sim v^2$), еще годится еще и константная функция для $L$ при любой скорости но ее отвергаем из-за бессмысленности/несоответствием с наблюдений" - то претензий не было бы.

Geen в сообщении #1612117 писал(а):

Да, но если Лагранжиан не зависит ни от одной переменной теории, то он не соответствует этой теории, математически

Так он как раз математически и зависит. Только эта математическая зависимость - константная :)
Кроме этого, он "мог бы" зависеть существенным образом также от любых других "переменных теории" (по которых его производная, была бы не нулевой).

P.S. Короче, я так понял что к предложенной $L=17$ математических замечаний теперь вроде уже нет, только философски-общефизического толка с точки зрения осмысленности/разумности/соответствия наблюдений.

[Geen]

manul91 в сообщении #1612120 писал(а):

Кроме этого, он "мог бы" зависеть существенным образом также от любых других "переменных теории" (по которых его производная, была бы не нулевой).

Так у нас в теории только координаты (три) и трехмерная скорость.

[manul91]

Geen в сообщении #1612121 писал(а):

Так у нас в теории только координаты (три) и трехмерная скорость.

- Где это эксплицитно сказано/написано?
- В какой-такой именно "теории", только этого и есть?
- Если $t$ в этой теории нет, то тогда что такое $t$ в выражении $v_x=\frac{dx}{dt}$? Или такого выражения в теории также нет/не осмысленно?
- В теории производных величин (т.е. функций из этих величин) есть? Например $x^2+y^2$ - в теории есть? ?
- А производная величина/функция из этих величин $f(x)=17$, или просто число 17 - в этой теории отсутствует? Или "переменным теории", запрещено "быть постоянными" - стало быть 17 "не переменная"? Тогда что такое 0 в уравнении Лагранжа $\frac{d}{dt}\frac{\partial L}{\partial v_x}-\frac{\partial L}{\partial x}=0$? Число 0 хотя бы в теории есть?
- Почему не добавить еще величин в теории например $m$, или наоборот - убрать?
:))

[lel0lel]

manul91 в сообщении #1612120 писал(а):

Сказали бы например - "кроме постоянства для скорости ($L \sim v^2$), еще годится еще и константная функция для $L$ при любой скорости но ее отвергаем из-за бессмысленности/несоответствием с наблюдений" - то претензий не было бы.

Об этом в книге ранее упоминают несколько раз. Причём, первый раз в самом её названии "Механика". Как видим прилагательное "квантовая" не используется, следовательно построение модели должно быть детерминированным. Более подробно об этом пишут в параграфе 2, озаглавленном "Принцип наименьшего действия". Там столько нравоучительных замечаний о полном задании механического состояния с помощью задания координат и скоростей, что ни один читатель к параграфу 3 даже думать не посмеет о равной нулю функции Лагранжа)

[Geen]

manul91 в сообщении #1612122 писал(а):

Если $t$ в этой теории нет

Ок, время есть. Это я упустил.

manul91 в сообщении #1612122 писал(а):

В какой-такой именно "теории", только этого и есть?

В той, для которой мы Лагранжиан пишем - движение материальной точки. Одной. Во всей вселенной....

manul91 в сообщении #1612122 писал(а):

Почему не добавить еще величин в теории например $m$, или наоборот - убрать?

Для одной материальной точки масса бессмысленная величина... если она константа...

manul91 в сообщении #1612122 писал(а):

Где это эксплицитно сказано/написано?

Где-то в ЛЛ-1 и написано

manul91 в сообщении #1612122 писал(а):

А число 17 в этой теории отсутствует?

Не принимается

[manul91]

Geen в сообщении #1612126 писал(а):

Не принимается

Ну так и написали бы хотя бы сноской, самым-самым мелким шрифтом внизу страницы, что "число 17 - не принимается". Было бы вполне в духе изложения. Ведь насколько помню, они кое-где и без того оговаривают что "это нельзя вывести математически, придется опереться на наблюдаемыми фактами" - раз уже прогнулись ведь, еще раз повторить хуже не стало бы: )

lel0lel в сообщении #1612124 писал(а):

Там столько нравоучительных замечаний о полном задании механического состояния с помощью задания координат и скоростей, что ни один читатель к параграфу 3 даже думать не посмеет о равной нулю функции Лагранжа

Все таки не обязательно нулевой, а произвольной константной относно $v$:)
Кроме того, гипотетически мир в котором "механическое состояние определяется с помощью задания координат и скоростей" - а функция Лагранжа свободной частицы константная и ее скорость может быть любой произвольно меняющейся - логически не противоречив.
В этом случае, скорость свободной частицы может быть произвольной и меняться любым образом с временем - вне зависимости от ее "механического состояния". Притом такое отсутствие какой-либо зависимости, как раз и соответствует симметрий пространства (что очевидно уже из вида лагранжиана):)
Но да, из требования "детерминированности" (а не только из чисто-математических соображений плюс соображений симметрии) - уже следует что как функция Лагранжа для свободной частицы, как и ее производная по $v$, не могут быть постоянными.

[zykov]

manul91 в сообщении #1612120 писал(а):

Еще раз дело в том что ЛЛ в том месте пытаются вывести постоянство скорости частицы как раз чисто математически, без каких-нибудь ссылок на реальность.

Где там такое сказано?
Книга по физике. И физичность рассуждений имеет ключевое значение. "Лагранжиан не зависит от скорости" - не физично.

[Geen]

zykov в сообщении #1612137 писал(а):

"Лагранжиан не зависит от скорости" - не физично.

Но ведь от координат то он не зависит...