2014 dxdy logo

Научный форум dxdy

Математика, Физика, Computer Science, Machine Learning, LaTeX, Механика и Техника, Химия,
Биология и Медицина, Экономика и Финансовая Математика, Гуманитарные науки


Правила форума


Посмотреть правила форума



Начать новую тему Ответить на тему
 
 Про многочлены Гаусса
Сообщение02.10.2023, 12:35 


07/03/13
126
Условие:

Пусть $m,n \in N_0$, $h_n(x)=(x^n-1)(x^{n-1}-1)...(x-1)$, $h_0(x)=1$.

Доказать, что $g_{m,n}(x)=\frac{h_{m+n}(x)}{h_m(x) h_n(x)}$ -- многочлены с целыми коэффициентами.

---

Как я понимаю, нужно доказать, что $h_{m+n}(x)$ нацело делится одновременно на $h_m(x)$ и $h_n(x)$. Предполагаю, что нужно индукцией по двум аргументам. Верно ли? Или можно проще?

 Профиль  
                  
 
 Re: Про многочлены Гаусса
Сообщение02.10.2023, 13:53 


02/07/23
118
Да, можно доказать через формулы сокращенного умножения, если вспомнить, что для любых $n$ последовательных натуральных чисел ($k+1,k+2,...,k+n$) можно каждому из них сопоставить число из $1,2,3,...,n$ так, что первое число из сопоставления делится на второе.

 Профиль  
                  
 
 Re: Про многочлены Гаусса
Сообщение02.10.2023, 14:23 
Заслуженный участник


07/08/23
1407
Я бы это доказывал с помощью рекуррентного соотношения на $g_{m, n}$, по аналогии с числами сочетаний.

Leeb в сообщении #1612034 писал(а):
для любых $n$ последовательных натуральных чисел ($k+1,k+2,...,k+n$) можно каждому из них сопоставить число из $1,2,3,...,n$ так, что первое число из сопоставления делится на второе.

Это неверно для тройки $5, 6, 7$ (в смысле, взаимно однозначного соответствия нет).

 Профиль  
                  
 
 Re: Про многочлены Гаусса
Сообщение02.10.2023, 14:32 


02/07/23
118
Согласен, надо поточнее подсчитать простые сомножители. На суть не влияет, тем не менее.

 Профиль  
                  
 
 Re: Про многочлены Гаусса
Сообщение02.10.2023, 14:49 
Заслуженный участник


07/08/23
1407
Можно вообще разложить всё на круговые многочлены, к тому же они точно неприводимы.

 Профиль  
                  
Показать сообщения за:  Поле сортировки  
Начать новую тему Ответить на тему  [ Сообщений: 5 ] 

Модераторы: Модераторы Математики, Супермодераторы



Кто сейчас на конференции

Сейчас этот форум просматривают: Alex Krylov


Вы не можете начинать темы
Вы не можете отвечать на сообщения
Вы не можете редактировать свои сообщения
Вы не можете удалять свои сообщения
Вы не можете добавлять вложения

Найти:
Powered by phpBB © 2000, 2002, 2005, 2007 phpBB Group