2014 dxdy logo

Научный форум dxdy

Математика, Физика, Computer Science, Machine Learning, LaTeX, Механика и Техника, Химия,
Биология и Медицина, Экономика и Финансовая Математика, Гуманитарные науки




 
 Про многочлены Гаусса
Сообщение02.10.2023, 12:35 
Условие:

Пусть $m,n \in N_0$, $h_n(x)=(x^n-1)(x^{n-1}-1)...(x-1)$, $h_0(x)=1$.

Доказать, что $g_{m,n}(x)=\frac{h_{m+n}(x)}{h_m(x) h_n(x)}$ -- многочлены с целыми коэффициентами.

---

Как я понимаю, нужно доказать, что $h_{m+n}(x)$ нацело делится одновременно на $h_m(x)$ и $h_n(x)$. Предполагаю, что нужно индукцией по двум аргументам. Верно ли? Или можно проще?

 
 
 
 Re: Про многочлены Гаусса
Сообщение02.10.2023, 13:53 
Да, можно доказать через формулы сокращенного умножения, если вспомнить, что для любых $n$ последовательных натуральных чисел ($k+1,k+2,...,k+n$) можно каждому из них сопоставить число из $1,2,3,...,n$ так, что первое число из сопоставления делится на второе.

 
 
 
 Re: Про многочлены Гаусса
Сообщение02.10.2023, 14:23 
Я бы это доказывал с помощью рекуррентного соотношения на $g_{m, n}$, по аналогии с числами сочетаний.

Leeb в сообщении #1612034 писал(а):
для любых $n$ последовательных натуральных чисел ($k+1,k+2,...,k+n$) можно каждому из них сопоставить число из $1,2,3,...,n$ так, что первое число из сопоставления делится на второе.

Это неверно для тройки $5, 6, 7$ (в смысле, взаимно однозначного соответствия нет).

 
 
 
 Re: Про многочлены Гаусса
Сообщение02.10.2023, 14:32 
Согласен, надо поточнее подсчитать простые сомножители. На суть не влияет, тем не менее.

 
 
 
 Re: Про многочлены Гаусса
Сообщение02.10.2023, 14:49 
Можно вообще разложить всё на круговые многочлены, к тому же они точно неприводимы.

 
 
 [ Сообщений: 5 ] 


Powered by phpBB © 2000, 2002, 2005, 2007 phpBB Group