Доказательства в теории множеств основанные на индикаторе

[narass]

Вечер добрый,

Подскажите пожалуйста ответ на тривиальный вопрос, мне явно не хватает здесь знаний алгебры
При выводе в теории множеств часто используется индикаторная фунция, которая определяется как отображение на $[0,1]$
При этом для вывода используеться алгебра в $N$ (а не в $F_2$), - например, формула индикатора симметричной разности $I_A\DeltaB = I_A+I_B-2I_A_\cap_B$
Смущает то, что в примере выше используется число 2, которое не имеет прообраза в отображении I.
Для понимания не хватает формального объяснения, почему мы можем использовать операции в N, cохраняя корректность вывода.
Например, может быть подразумевается, что результат вывода всегда остается в $[0,1]$, но доказательство опускается из-за тривиальности?
Возможно в алгебре существует какая-то классификация таких преобразований и их свойства, из которых формально бы корректность вытекала?

[dgwuqtj]

Если вам нужны индикаторные функции на множестве $X$, то они все лежат в кольце из всех функций $X \to \mathbb Z$. Каждая конкретная индикаторная функция, конечно, принимает только значения 0 и 1. Если формально, то множество отображений $X \to \{0, 1\}$ вкладывается в то большое кольцо. А зачем вам нужно, чтобы всякие результаты алгебраических операций тоже были индикаторными функциями?

[narass]

Хочется вернуться обратно в операции на множествах, как, например, через индикаторы выводится формула включений-исключений

[dgwuqtj]

Там не нужно никуда возвращаться. Формула включений-исключений сводится к некоторому равенству между алгебраическими выражениями от индикаторных функций. Вот в кольце $R$ функций $X \to \mathbb Z$ это равенство и проверяйте. Чем кольцо больше, тем проще.

Доказательств из википедии основано на том, что есть операция суммирования $\sigma \colon R \to \mathbb Z$ (складывающая значения функции $X \to \mathbb Z$ по всем элементам $X$), причём $\sigma$ является гомоморфизмом групп. Сначала выписывается равенство внутри $R$, потом оно преобразуется обычным раскрытием скобок (как в любом коммутативном кольце), а затем к нему применяется $\sigma$.