Связь между гармониками

[Парджеттер]

День добрый.

Я не очень разбираюсь в этих вопросах, поэтому вопрошаю о следющем.
Предположим, имеется какое-то волновое движение по пространственной координате, и мы ищем его в виде разложения в ряд Фурье примерно такого вида

$$F(x,t)=\sum \limits_{k= - \infty}^{+ \infty} f_k(t) e^{ik \beta x}$$

где период функции $F(x,t)$ по координате $x$ имеет вид

$$T=\frac{2 \pi}{\beta}$$

Мне говорили, что в оптике (а может и не только) есть зависимость между гармониками: между 1-ой и 2-ой, между 2-ой и 3-ей и т.д. Может быть это относится только к периодическим средам.

Есть ли такие в действительности, и где можно про это почитать?

[Someone]

Даже не знаю, что и сказать. В абстрактных рядах никакой зависимости, естественно нет. Чтобы была зависимость, какие-то специфические условия должны быть.

[Парджеттер]

Someone писал(а):

Даже не знаю, что и сказать. В абстрактных рядах никакой зависимости, естественно нет. Чтобы была зависимость, какие-то специфические условия должны быть.

Вот и мне непонятно.
Отсылали к оптике периодических сред, кажется (кристаллооптика). Но там я ничего не нашел (может плохо искал, или не там искал).
Я сам-то далек от оптики.

[photon]

Для произвольной среды и произвольного сигнала? - Да нет там никакой связи

Добавлено спустя 4 минуты 26 секунд:

для периодических сред - возможно какие-то соотношения есть. А что за задача? - Чуть подробнее раскройте

[Munin]

Пока среда линейная, связи быть не может, потому что линейные дифуры действуют на гармоники независимо (в этом, собственно, и смысл разложений Фурье). А вот в нелинейных средах связь появляется. Пока нелинейность мала и рассматривается как возмущение над линейностью, можно использовать то же разложение Фурье, но со связями между гармониками. А когда нелинейность велика, надо брать другие разложения.

Можно представить себе нелинейное возмущение в виде какой-то периодической структуры. Тогда эффект от этой нелинейности проявится в связях между (пространственными) гармониками, отстоящими друг от друга на обратный вектор решётки.

[Парджеттер]

photon в сообщении #160894 писал(а):

для периодических сред - возможно какие-то соотношения есть. А что за задача? - Чуть подробнее раскройте

Это распространение акустических волн в периодической структуре.

2 Munin - а можно поподробнее? Нет ли ссылочек на литературу?

[photon]

Парджеттер в сообщении #160991 писал(а):

то распространение акустических волн в периодической структуре.

Можно ли в Вашей задаче считать, что свойства среды не меняются с амплитудой волн? То есть является ли среда линейной?

[peregoudov]

Речь может идти, например, о "блоховских волнах". Это стационарные решения уравнения Шредингера с периодическим потенциалом. (На оптическом языке: волны определенной частоты в структуре с периодической диэлектрической проницаемостью.)

[Парджеттер]

photon в сообщении #161072 писал(а):

Можно ли в Вашей задаче считать, что свойства среды не меняются с амплитудой волн? То есть является ли среда линейной?

Да, конечно, в этом приближении вполне.

[Dolopihtis]

Насколько я помню, в простейшем случае нелинейный случай встречается в радиотехнике.Например ,есть какая то нелинейная система, на вход которой подаётся гармоничесое колебание.(Диод или транзистор в режиме большого сигнала.)Нелинейная характеристика приближенно аппроксимируется многочленом. Например, если ограничиться квадратичным приближением ,то по известной формуле тригонометрии $\cos^{2}x= \frac{1+\cos2x}{2}$ на выходе возникнут нулевая гармоника(постоянная составляющая) и вторая гармоника.

[photon]

Парджеттер писал(а):

photon в сообщении #161072 писал(а):

Можно ли в Вашей задаче считать, что свойства среды не меняются с амплитудой волн? То есть является ли среда линейной?

Да, конечно, в этом приближении вполне.

Тогда это обычный брегговский отражатель получается (если периодичность в одном направлении; если периодичность в двух или трёх направлениях, то смотрите литературу по фотонным кристаллам, например по автору Joannopoulos, или напомните мне в будний день - я тогда смогу что-то из литературы подкинуть)

[Парджеттер]

Господа! Огромное Вам всем спасибо!

Однако, мне бы хотелось что-нибудь почитать, где внятно изложена суть подхода к выявлению связей между гармониками. У меня есть книга Ярива по этому поводу, но я там ничего внятного для себя не нахожу, признаться.

Если не трудно, пошлите меня к какой-нибудь хорошей книжице, а то мне это применить надо к акустике, а не оптике, а там своя специфика.

[Munin]

Парджеттер в сообщении #160991 писал(а):

2 Munin - а можно поподробнее? Нет ли ссылочек на литературу?

К сожалению, я эту тему знаю только "на пальцах". Она должна быть изложена где-то в математической литературе. И может быть, в физической по нелинейным волнам и явлениям. Про другие разложения - это метод обратной задачи рассеяния в теории солитонов, знаю только название. Но это какая-то уж очень тяжёлая артиллерия.

[photon]

Munin в сообщении #161638 писал(а):

И может быть, в физической по нелинейным волнам и явлениям. Про другие разложения - это метод обратной задачи рассеяния в теории солитонов, знаю только название. Но это какая-то уж очень тяжёлая артиллерия.

А при чем тут нелинейные волны, если

Парджеттер писал(а):

photon в сообщении #161072 писал(а):

Можно ли в Вашей задаче считать, что свойства среды не меняются с амплитудой волн? То есть является ли среда линейной?

Да, конечно, в этом приближении вполне.

[Munin]

Дык в простейших случаях нелинейщины свойства среды тоже не меняются с амплитудой волн. Нелинейная волна прошла, и после неё осталась прежняя среда без остаточных изменений.

В то же время если считать, что среда линейна в строгом смысле, связи между гармониками не может быть. Линейная среда описывается уравнением эволюции

$$\frac{\partial f}{\partial t}=Df,\,\,^{*})$$

где $D$ - линейный дифференциальный оператор (некоторый многочлен из операторов производной и числовых коэффициентов). Преобразовав это уравнение по Фурье по координате, мы обнаружим, что производная вертит независимо каждое подпространство, натянутое на базисные векторы $\sin kx,\,\,\cos kx.$ И вторая и n-я производная - тоже. И линейная комбинация - окончательный дифференциальный оператор - тоже. А значит, каждая гармоника эволюционирует независимо от остальных.

*) Уравнение такого вида получается из волнового уравнения, например, если перейти от исходной переменной функции к вектору, включающему исходную переменную и её производные по времени до $(n-1)$-й включительно. Например:

$$\frac{\partial^2 u}{\partial t^2}-\frac{\partial^2 u}{\partial x^2}+u=b$$

$$\Leftrightarrow$$

$$\frac{\partial}{\partial t} \left(\begin{array}{c}u\\v\end{array}\right) = \left(\begin{array}{cc}0&1\\\displaystyle\frac{\partial^2}{\partial x^2}-1&0\end{array}\right) \left(\begin{array}{c}u\\v\end{array}\right) + \left(\begin{array}{c}0\\b\end{array}\right)$$