Элементарная алгебра для отстающих

[wrest]

electron2501 в сообщении #1610281 писал(а):

А теперь вот конкретный пример. $(x-1)^2=81$ Получается $(x-1)-(x-1)x=81$

Нет, этого не получается, т.к. $(x-1)-(x-1)x=-(x-1)^2$ а не $(x-1)^2$
Вы можете решить вот эту систему уравнений?

$$ \begin{cases} t^2=81\\ t=x-1\\ \end{cases} $$

-- 18.09.2023, 14:44 --

electron2501 в сообщении #1610283 писал(а):

Но вот я применила формулу указанную Гефестом ранее, которая $(a+b)^2=(a+b)a+(a+b)b$.

Нет, не применили. Возможно, хотели применить, но не применили.

-- 18.09.2023, 14:47 --

electron2501 в сообщении #1610283 писал(а):

Формулы я, конечно, выучу.

Эти формулы как я писал выше - примерно как таблица умножения. Вы даже если не захотите, все равно их придется выучить, вернее рано или поздно они выучатся всё равно. Но поскольку вы написали, что раскрывать скобки слишком сложно и непонятно для вас, то выучить/вызубрить эти формулы сейчас - самое время, на мой взгляд.

[electron2501]

Нет, не могу решить Не ясно что делать с $x^2$ и единицей для начала, которая там неизбежно получается, неважно положительная или отрицательная. Она ведь там получается как ни крути, верно? (Опустим вопрос почему такие "дебри" в задаче даже не "сложной" в учебнике без предварительного объяснения ).

[wrest]

electron2501 в сообщении #1610288 писал(а):

Нет, не могу решить

Хорошо, а уравнение $t^2=81$ можете решить?

-- 18.09.2023, 15:11 --

electron2501 в сообщении #1610288 писал(а):

Не ясно что делать с $x^2$ и единицей для начала

В системе которую я предложил вам решить, нет никаких $x^2$

[gefest_md]

electron2501 в сообщении #1610281 писал(а):

Что значит уточнение "в ваших задачах b<0"?

$(x-1)^2=(x+(-1))^2$, по определению вычитания.

electron2501 в сообщении #1610194 писал(а):

д) $f(x-1)=f(x-7)$

Эту задачу предлагаю решить раскрытием скобок.

electron2501 в сообщении #1610194 писал(а):

г) $f(x-1)=81$. То есть, это выражение $(x-1)^2=81$

Здесь какие числа возведённые в квадрат дают $81?$ Их приравнивайте к $x-1$ и решайте два простых уравнения.

Потому что не знаю проходили ли Вы модуль числа и решение квадратных уравнений. Поэтому мои предложения ведут к уравнениям первой степени, которых Вы проходили. И ещё Вы должны были проходить формулу $(a+b)^2=a^2+2ab+b^2.$

[Dedekind]

electron2501
Ну, получилось квадратное уравнение. Вы уже их проходили? Если нет, то прочитайте про них сначала.

[electron2501]

В этом и суть, что квадратные уравнения это СЛЕДУЮЩИЕ главы в этом учебнике (через параграф). Непонятное решение авторов учебника. Подозреваю, что наиболее правильным будет оставить эти задания и вернуться к ним после соответствующих объяснений. Подивившись тому, какие это простейшие задачи были.

[Dedekind]

electron2501
Пожалуй, да.

[electron2501]

Здравствуйте! У меня возникла трудность с пониманием сути задания. Упражнение состоит из 3 пунктов. В первом нужно найти значение функции при таком-то аргументе (параграф "Кусочные функции"), далее построить график. Это ломанная с точками в (-2;0), (-1;1), (0;0), (2;4) и (4;6). Пункт 3 мне не понятен. "С помощью графика функции найдите значение аргумента, если $f(x) = 1, 0, 4, -1$". К примеру в ответах дано $. Как это понять?

[Лукомор]

electron2501 в сообщении #1610741 писал(а):

Как это понять?

Это надо понять так, что теперь нужно наоборот, найти те значения аргумента, при которых функция принимает заданные значения.
То-есть, на вертикальной оси графика находите точку, соответствующую заданному значению $f(x)$, например $f(x)=0$ , и через эту точку проводите горизонтальную линию.
А теперь, там где линия графика пересекла, или хотя бы коснулась, проведенной горизонтальной линии, из точки пересечения/касания проводите вертикальную линию до пересечения с осью абсцисс. И с этой оси считываете соответствующее значение аргумента.
В нашем примере горизонтальная линия $f(x)=0$ касается нашей ломаной линии в двух точках:
$x={-2}$ и $x=0$.
Это и будет решением приведенного примера.

[wrest]

electron2501 в сообщении #1610741 писал(а):

далее построить график. Это ломанная с точками в (-2;0), (-1;1), (0;0), (2;4) и (4;6). Пункт 3 мне не понятен. "С помощью графика функции найдите значение аргумента, если $f(x) = 1, 0, 4, -1$". К примеру в ответах дано $. Как это понять?

[electron2501]

Здравствуйте! В заданиях на повторение я столкнулась с вроде бы простым упражнением. Текст задания: "Решите уравнение $f(x+2)=g(x-1)$, если $f(x)=3x-1$, а $g(x)=5x+9$". Я полагала, что правильно усвоила принцип. То есть, в первой части показана сама операция, а во второй значение аргумента, то есть, что нужно вместо X подставлять в операцию. Получилось, соответственно, выражение $(3x-1)+2=(5x+9)-1$. Решение x=-3,5. Однако, в ответах дано 0,5. Что я поняла не правильно?

[Dedekind]

electron2501 в сообщении #1611485 писал(а):

в первой части показана сама операция, а во второй значение аргумента, то есть, что нужно вместо X подставлять в операцию

Наоборот.

[EUgeneUS]

electron2501 в сообщении #1611485 писал(а):

Что я поняла не правильно?

Как обычно в таких случаях, что-то не то и не туда подставили.
Здесь в условиях буквой $x$ обозначено разное, но так как разное в разных выражениях, то вроде как допустимо и криминала нет. Но запутывает, да.
Чтобы распутаться можно предложить такой ход.

1. Посмотрим на уравнение: $f(x+2)=g(x-1)$
И введем обозначения:
$x+2 = u$
$x-1 = v$
тогда уравнение можно записать так:
$f(u) = g(v)$ (1)

2. Теперь посмотрим на функции.
а) $f(x)=3x-1$, это выполняется для любого аргумента, тогда можно написать так: $f(u) = 3u-1$ (2)
б) аналогично $g(x)=5x+9 \to g(v)=5v+9$ (3)

3. Подставим $f(u), g(v)$ из (2) и (3) в уравнение (1):
$f(u) = 3u -1 = g(v) = 5v+9$

4. А теперь вернёмся от $u,v$ обратно к $x$
$3 (x+2) - 1 = 5 (x-1) +9$

И получили уравнение, которое нужно разрешить относительно $x$.

[electron2501]

Хм, я не правильно понимаю эти термины и их взаимодействия значит Для меня Уравнение первично и включает в себя Функцию, которая оперируема заданным уравнением. Тут же всё наоборот получается, так? Функция это базовая задача, а Уравнение это вроде как Аргумент, некое оперируемое. Немного запутанно получается, нужно привыкнуть.

[EUgeneUS]

electron2501 в сообщении #1611585 писал(а):

Хм, я не правильно понимаю эти термины и их взаимодействия значит

Видимо.
Но не очень точно понимаю, какие смыслы Вы вкладываете в некоторые слова.
Поэтому попробую пояснить другими словами (сразу скажу, это нестрогие формулировки).

1. Про функции.

а) Функцию удобно представить как сопоставление между чем-то "на входе" и чем-то "на выходе".
Насколько помню, в школьных учебниках это так и рисуется в виде двух каких-то множеств и стрелочек между их элементами.
б) Чтобы такое сопоставление могло считаться функцией любому значению "на входе" должно соответствовать одно или ни одного значения "на выходе".
в) Если какому-то значению "на входе" не соответствует никакого значения "на выходе", то говорят, что это значение (на входе) "не входит в область определения функции"

Функцию можно задать разными способами. Например:
i. Если множество значений "на входе" (в области определения функции) конечно, то можно просто их перечислить и указать значение функции для каждого. Таблицы истинности, которые мы рассматривали когда-то - это оно и есть.
ii. Графиком.
iii. Выражением. Например, $f(x) = 2x +1$. Тут подставляя вместо $x$ любое число, мы получаем значение функции для этого числа.

Примеры:

i. $\forall x \in \mathbb{R}, f(x) = 2x +1$
ii.$\forall v \in \mathbb{R}, f(v) = 2v +1$ Это та же самая функция, что и в пункте i. Обратите на это внимание.
iii. $\forall x \in [-1, 1], f(x) = 2x +1$ А это уже другая функция, не такая, как в пункте i. Потому что, если $x=5$, функция из пункта i. нам выдаст какое-то значение, а функция из пункта iii. никакого значения нам не выдаст, так как она определена только на отрезке $[-1, 1]$

Если область определения не указана явно, то по умолчанию предполагается, что это вся числовая прямая ($\mathbb{R}$). Но при условии, что выражение, которым задается функция, "может дать результат".

Поэтому бывают задачи вида: найти область определения функции $f(x) = \frac {\sqrt{x}}{x-1}$

До этого места Вам всё понятно?
Если да, то попробуйте решить задачу про область определения (выше).