Сходится ли ряд?

[vicvolf]

Сходится ли ряд

$$\sum_{n=1}^{\infty}{\frac{cos(\ln n)}{n}}?$$

Ряд является знакопеременным, поэтому впрямую установить сходимость по признаку Лейбница нельзя.

Вот, если выполняется

$$\sum_{n=1}^{\infty}{\frac{cos(\ln n)}{n}} \sim \sum_{n=1}^{\infty}{\frac{(-1)^{n+1}\ln n}{n}},$$

то получаем знакочередующийся ряд, который сходится по признаку Лейбница.

По интегральному признаку не получилось доказать сходимость ряда.

[mihaild]

Посмотрите на промежутки, на которых ряд знакопостоянен, и оцените сумму по ним.

[TOTAL]

$\ln(N+K) - \ln(N) = 2\pi/3$
Выразите $K$ через $N$, вдруг пригодится.

[vicvolf]

TOTAL в сообщении #1611457 писал(а):

$\ln(N+K) - \ln(N) = 2\pi/3$
Выразите $K$ через $N$, вдруг пригодится.

Я так понимаю, что $k$ -это интервал знакопостоянства, тогда в наших обозначениях $\ln(n+k)-\ln n=\pi$ или $k=n(e^{\pi}-1)$?

[mihaild]

А теперь отступите слегка от краев, чтобы косинус был отделен от нуля, и оцените сумму по отрезку от $n + x$ до $n + k - x$.

[TOTAL]

vicvolf в сообщении #1611464 писал(а):

TOTAL в сообщении #1611457 писал(а):

$\ln(N+K) - \ln(N) = 2\pi/3$
Выразите $K$ через $N$, вдруг пригодится.

Я так понимаю, что $k$ -это интервал знакопостоянства, тогда в наших обозначениях $\ln(n+k)-\ln n=\pi$ или $k=n(e^{\pi}-1)$?

При стольких $K$ косинус больше $1/2$ (на каком-то участке)

[vicvolf]

TOTAL в сообщении #1611492 писал(а):

При стольких $K$ косинус больше $1/2$ (на каком-то участке)

Поясните, пожалуйста, при чем тут $1/2$?

[Null]

vicvolf в сообщении #1611510 писал(а):

Поясните, пожалуйста, при чем тут $1/2$?

Любое число между 0 и 1, $1/2$ самое простое.
Можно еще сказать так: решите уравнение $\cos(\ln n)>1/2$. Потом использовать критерий Коши сходимости ряда.

[Утундрий]

Null в сообщении #1611513 писал(а):

Любое число между 0 и 1, $1/2$ самое простое.

В этом смысле $1/\sqrt{2}$ немного "проще".

[TOTAL]

vicvolf в сообщении #1611510 писал(а):

TOTAL в сообщении #1611492 писал(а):

При стольких $K$ косинус больше $1/2$ (на каком-то участке)

Поясните, пожалуйста, при чем тут $1/2$?

Сначала найдите $K$ из уравнения, которое я предлагал: $\ln(N+K) - \ln(N) = 2\pi/3$.
Потом вопрос "при чем тут $1/2$?" может отпасть.

[Padawan]

Докажите следующее утверждение: если $\int\limits_1^{+\infty}|f'(x) |dx<+\infty$, то сходимость ряда $\sum\limits_{n=1}^\infty f(n) $ равносильна сходимости несобственного интеграла $\int\limits_1^{+\infty}f(x) dx$.
Затем примените это утверждение к вашему примеру.

[vicvolf]

Padawan в сообщении #1611535 писал(а):

сходимость ряда $\sum\limits_{n=1}^\infty f(n) $ равносильна сходимости несобственного интеграла $\int\limits_1^{+\infty}f(x) dx$. Затем примените это утверждение к вашему примеру.

В этом случае у меня получается, что несобственный интеграл равен пределу $\lim_{x \to \infty}{\sin(\ln x)}$, который не существует.

TOTAL в сообщении #1611533 писал(а):

Сначала найдите $K$ из уравнения, которое я предлагал: $\ln(N+K) - \ln(N) = 2\pi/3$.Потом вопрос "при чем тут $1/2$?" может отпасть.

$K=N(e^{2\pi/3}-1)$.

[TOTAL]

vicvolf в сообщении #1611538 писал(а):

TOTAL в сообщении #1611533 писал(а):

Сначала найдите $K$ из уравнения, которое я предлагал: $\ln(N+K) - \ln(N) = 2\pi/3$.Потом вопрос "при чем тут $1/2$?" может отпасть.

$K=N(e^{2\pi/3}-1)$.

Теперь сформулируйте утверждение про сходимость (отсутствие сходимости) ряда.
И докажите его. Подсказок уже было вполне достаточно.

[vicvolf]

Null в сообщении #1611513 писал(а):

Можно еще сказать так: решите уравнение $\cos(\ln n)>1/2$. Потом использовать критерий Коши сходимости ряда.

$k=n(e^{2\pi/3}-1)=Cn,C \geq 1$ -это длина интервала (в одной арке), где выполняется неравенство $\cos(\ln n)>1/2$.
Используем критерий Коши. Обозначим $B=(Cn)^{1/n}$,тогда $\ln B=\frac{\ln (Cn)}{n},\lim_{n \to \infty}{\ln B}=\lim_{n \to \infty}{\frac{\ln (Cn)}{n}}=0$.
Поэтому $A=\lim_{n \to \infty} {B}=e^0=1$, т.е. признак Коши не дает ответа о сходимости данного ряда.
Ну вообще ряд $\sum_{n=1}^{\infty}{Cn}$ - конечно расходится и я не понимаю смысла установления этого.

[mihaild]

Другой критерий, про частичные суммы.