Сходится ли ряд?

[TOTAL]

vicvolf в сообщении #1611579 писал(а):

т.е. признак Коши не дает ответа о сходимости данного ряда.

Дайте определение сходящегося ряда.

[vicvolf]

mihaild в сообщении #1611580 писал(а):

Другой критерий, про частичные суммы.

Padawan в сообщении #1611535 писал(а):

сходимость ряда $\sum\limits_{n=1}^\infty f(n) $ равносильна сходимости несобственного интеграла $\int\limits_1^{+\infty}f(x) dx$. Затем примените это утверждение к вашему примеру.

В этом случае у меня получается, что несобственный интеграл равен пределу $\lim_{x \to \infty}{\sin(\ln x)}$, который не существует.

[mihaild]

Это еще один вариант, который тоже работает - он более идейный, но требует доказательства.
Критерий Коши - что ряд сходится тогда и только тогда когда $\forall \varepsilon > 0 \exists N \forall M > N: \left|\sum\limits_{i=N}^M a_i\right| < \varepsilon$.

[vicvolf]

mihaild в сообщении #1611450 писал(а):

Посмотрите на промежутки, на которых ряд знакопостоянен, и оцените сумму по ним.

vicvolf в сообщении #1611464 писал(а):

Я так понимаю, что $k$ -это интервал знакопостоянства, тогда в наших обозначениях $\ln(n+k)-\ln n=\pi$ или $k=n(e^{\pi}-1)=Cn$

Если использовать данные промежутки знакопостоянства

$$\sum_{n=1}^{\infty}{\frac{cos(\ln n)}{n}} \sim \sum_{n=1}^{\infty}{\frac{(-1)^{n+1}Cn}{n}},$$

то получаем знакочередующийся ряд, который расходится по признаку Лейбница.

[mihaild]

vicvolf в сообщении #1611597 писал(а):

то получаем знакочередующийся ряд

Да какой знакочередующийся ряд, посмотрите на частичную сумму от $n$ до $n + k$.

vicvolf в сообщении #1611597 писал(а):

который расходится по признаку Лейбница

Что, простите? Можете сформулировать, на какой признак Вы ссылаетесь?

[vicvolf]

mihaild в сообщении #1611598 писал(а):

vicvolf в сообщении #1611597 писал(а):

то получаем знакочередующийся ряд

Да какой знакочередующийся ряд, посмотрите на частичную сумму от $n$ до $n + k$.

Да, здесь допустим положительные, а на следующем интервале отрицательные. А как Вы предлагали определить сходимость по интервалам знакопостоянства?

[mihaild]

vicvolf в сообщении #1611607 писал(а):

А как Вы предлагали определить сходимость по интервалам знакопостоянства?

Посмотреть на сумму по этому интервалу и воспользоваться критерием Коши, который я процитировал выше.

[vicvolf]

mihaild в сообщении #1611611 писал(а):

Посмотреть на сумму по этому интервалу и воспользоваться критерием Коши, который я процитировал выше.

Итак интервал знакопостоянства $k=Cn,C>1$, тогда по критерию Коши:
$|\frac{cos\ln x}{x}+...+\frac{cos\ln (x+Cn)}{x+Cn}-\frac{cos \ln (x+Cn+1)}{x+Cn+1}-...-\frac{cos \ln (x+2Cn+1)}{x+2Cn+1}|$$<Cn/x|(cos(x+Cn)-cos(x+2Cn)|<\epsilon$.
Так как $C$ - постоянная, $n$ - фиксированное, значение в модуле ограниченное и $x \to \infty$. Следовательно, ряд сходится.

[mihaild]

Посмотрите на сумму по интервалу по интервалу знакопостоянства. По одному.
Подставьте в критерий Коши один интервал знакопостоянства. Не два. Один.
Потом подставьте другой. Но тоже один, сам по себе.
Обратите внимание, что критерий Коши требует, чтобы любые далекие частичные суммы были малы, а не только по двум соседним интервалам знакопостоянства.
Если всё еще непонятно - проанализируйте на сходимость ряд $1 - 1/2 - 1/2 + 1/3 + 1/3 + 1/3 - \ldots + \underbrace{\frac{(-1)^{n + 1}}{n} + \ldots +\frac{(-1)^{n + 1}}{n}}_{\text{n раз}} + \ldots$.

[TOTAL]

vicvolf в сообщении #1611700 писал(а):

Так как $C$ - постоянная, $n$ - фиксированное, значение в модуле ограниченное и $x \to \infty$. Следовательно, ряд сходится.

$n$ и $x$ это одно и то же.

[vicvolf]

mihaild в сообщении #1611702 писал(а):

Посмотрите на сумму по интервалу знакопостоянства. По одному. Подставьте в критерий Коши один интервал знакопостоянства. Не два. Один.

$|\frac{cos\ln x}{x}+...+\frac{cos\ln (x+Cn)}{x+Cn}|$$<Cn/x|(cos(x+Cn)| \leq Cn/x=\epsilon$.
Так как $C$ - постоянная, $n$ - фиксированное, значение модуля не превосходит 1 и $x \to \infty$.

[Null]

vicvolf в сообщении #1611753 писал(а):

$|\frac{\cos\ln x}{x}+...+\frac{\cos\ln (x+Cn)}{x+Cn}|<Cn/x|(\cos(x+Cn))|$

У Вас коснинус возрастающая функция? (она не монотонная вообще, но это и не надо)
Избавьтесь от $n$ или $x$, Зачем вам 2 переменные?
Вы уже знаете что ряд расходиться, зачем вы пытаетесь доказать что он сходиться? У вас не получиться.

[mihaild]

vicvolf в сообщении #1611753 писал(а):

Так как $C$ - постоянная, $n$ - фиксированное, значение модуля не превосходит 1 и $x \to \infty$.

Откуда $x$ взялся?
Вы можете оценить снизу $\sum\limits_{n=\exp(\pi / 4 + 2 \pi k)}^{\exp(3 \pi /4 + 2 \pi k)} \frac{\cos \ln n}{n}$?

[vicvolf]

Null в сообщении #1611756 писал(а):

У Вас коснинус возрастающая функция? (она не монотонная вообще, но это и не надо). Избавьтесь от $n$ или $x$, Зачем вам 2 переменные? Вы уже знаете что ряд расходиться, зачем вы пытаетесь доказать что он сходиться? У вас не получиться.

Да, $x$ тут лишний. Пусть $|\min(\cos\ln n<...,\cos\ln (n+Cn))|=A$, тогда:
$|\frac{\cos\ln n}{n}+...+\frac{\cos\ln (n+Cn)}{n+Cn}|>CAn/n=CA$, поэтому сделать его меньше произвольного $\epsilon$ нельзя. В данном случае ряд расходится.
Это частный случай вопроса сходимости ряда:

$$\sum_{m=1}^{\infty}\frac{|exp(itf(n)*\mu(n)|}{n}, (1)$$

где $t $- действительное число, $f$ - аддитивная арифметическая функция.
Меня интересует вопрос, при какой асимптотике $f$ ряд (1) сходится?

Так как ряд $\sum_{m=1}^{\infty}\frac{|\mu(n)|}{n}$ - сходится, то ряд (1) сходится, если сходится ряд:
$\sum_{m=1}^{\infty}\frac{exp(itf(n)}{n}=\sum_{m=1}^{\infty}\frac{cos(itf(n)}{n}+i\sum_{m=1}^{\infty}\frac{sin(itf(n)}{n}$.(2)
Ряд (2) сходится, если сходится ряд $\sum_{m=1}^{\infty}\frac{cos(itf(n)}{n}$. (3)
Частным случаем (3) при $f(n)=\ln n$ являлся исследуемый ряд.
Там у нас получилось, что критерием сходимости ряда (3) является $\lim_{n \to \infty} k/n=0$, где $k$ - интервал знакопостоянства ряда (3). В нашем примере $\lim_{n \to \infty} k/n=C$ - не равен 0. Значит при асимптотике $f(n) \sim \ln n$ ряд (3) расходится, расходятся и ряды (2) и (1).

[Null]

vicvolf в сообщении #1611811 писал(а):

Пусть $|\min(\cos\ln n<...,\cos\ln (n+Cn))|=A$

Так просто нельзя писать, у вас не $A$, а $A_n$ получиться. Обычно $n$ проходит все натуральные числа, а у вас здесь $n$ - из какой-то последовательности.