Найти предел функции

[Tosha]

Нужно найти значение предела (Лопиталь под запретом).

$\displaystyle\lim_{x\to 0}\dfrac{5x^4+x^5}{6\sin x - 6x + x^3 + 2x^4}$

Здесь приходит идея, а почему бы не разложить синус? $\sin x =x-\dfrac{x^3}{6}+\dfrac{x^5}{120}+O(x^7)$

И дальше все отлично получается, но есть ли альтернативы? Может еще какой-то интересный способ, который я в упор не вижу (кроме Лопиталя и Тейлора).

[Утундрий]

Tosha в сообщении #1611031 писал(а):

Лопиталь под запретом

А что не под запретом? Так сходу непонятно. Вдруг это нужно делать под водой, держа непромокаемый девайс за спиной и при этом обязательно напевая про себя "Вечерний звон"? Если хотите, чтобы спортивное достижение было засчитано, не забывайте перечислять все условия.

[Tosha]

Утундрий в сообщении #1611035 писал(а):

А что не под запретом? Так сходу непонятно. Вдруг это нужно делать под водой, держа непромокаемый девайс за спиной и при этом обязательно напевая про себя "Вечерний звон"? Если хотите, чтобы спортивное достижение было засчитано, не забывайте перечислять все условия.

Спасибо. Все остальное разрешено=) (кроме Тейлора и Лопиталя)

[Dedekind]

Tosha
Первый замечательный предел?

[Tosha]

Dedekind в сообщении #1611041 писал(а):

Tosha
Первый замечательный предел?

Даже, если разделить числитель и знаметнатель на $x$, то использование вырванного из контекста замечательного предела приведет к неправильному ответу из-за того, что там сумма и разность в знаменателе =) Согласны?)

[wrest]

Tosha в сообщении #1611102 писал(а):

Даже, если разделить числитель и знаметнатель на $x$,

Я бы делил на $x^4$ ну или на $2x^4$

[Tosha]

wrest в сообщении #1611108 писал(а):

Я бы делил на $x^4$ ну или на $2x^4$

Спасибо. Но это разве поможет?

$\displaystyle\lim_{x\to 0}\;\;\dfrac{5x^4+x^5}{6\sin x - 6x + x^3 + 2x^4} =\displaystyle\lim_{x\to 0}\;\;\dfrac{5+x}{6\cdot\frac{\sin x}{x\cdot x^3} - 6\cdot \frac{1}{x^3} + \frac{1}{x} + 2} $

Разве можно к фрагменту знаменателя применять первый замечательный предел?)

[Combat Zone]

Tosha в сообщении #1611031 писал(а):

И дальше все отлично получается, но есть ли альтернативы?

Нет альтернатив. Так или иначе, вычисление этого предела равносильно доказательству, что $\sin x= x - x^3/6 + o(x^4)$ в окрестности нуля (вы взяли слишком много членов, нестрашно, но расточительно), то есть вам придется любым способом получать многочлен Тейлора степени три для синуса. Быстрее всего пользоваться готовыми результатами, т.е. формулой Тейлора.

Замечательные пределы дают информацию о м.Т. первого порядка.
Интересно, в связи с чем возник вопрос о существовании решения, альтернативного занимающему небольшое количество времени и простому в исполнении. Почему захотелось альтернатив?

[Dedekind]

Tosha в сообщении #1611111 писал(а):

Разве можно к фрагменту знаменателя применять первый замечательный предел?)

Можно, если осторожно:) Но да, не в этом случае.

[mihiv]

Предел можно найти, если бы было дополнительно известно, что он существует и отличен от $0$.
Обозначим выражение под знаком предела $f(x)$ и пусть $\lim \limits _{x\to 0}f(x)=A$. Тогда $\lim \limits _{x\to 0}\dfrac 1{f(x)}=\dfrac 1A$. В выражении для $\dfrac 1{f(x)}$ заменим знаменатель на эквивалентную б.м. $5x^4$, тогда нам нужно будет вычислить предел: $\lim \limits _{x\to 0}\dfrac {6\sin x-6x+x^3}{5x^4}+\lim \limits _{x\to 0}\dfrac {2x^4}{5x^4}$.
Довольно очевидно, что из-за нечетности функции под знаком первого предела он равен 0 и, следовательно, $\dfrac 1A=\dfrac 25, A=\dfrac 52$.

[Combat Zone]

mihiv в сообщении #1611145 писал(а):

Довольно очевидно, что из-за нечетности функции под знаком первого предела он равен 0

Ну а поскольку этот ноль нам никто не обещал, то никто не обещал и существования. Так что деваться некуда, приходится раскладывать. Это гораздо быстрее, чем придумывать, как еще. (Это для ТС, если что.)

[Tosha]

Combat Zone в сообщении #1611129 писал(а):

Интересно, в связи с чем возник вопрос о существовании решения, альтернативного занимающему небольшое количество времени и простому в исполнении. Почему захотелось альтернатив?

Спасибо, понял. У меня двоюродный брат все никак не мог решить это задание, но разложение синуса - для него немного тяжеловатая история (нелегко дается математика ему).

mihiv в сообщении #1611145 писал(а):

и, следовательно, $\dfrac 1A=\dfrac 25, A=\dfrac 52$.

Спасибо большое, понял!

И еще, остался небольшой вопрос по пределам. Можно ли делать такой переход?

$\displaystyle\lim_{x\to 0}\;\;\dfrac{e^{4x}-e^x}{\sin x}=\displaystyle\lim_{x\to 0}\;\;\dfrac{e^{4x}-1}{\sin x}-\displaystyle\lim_{x\to 0}\;\;\dfrac{e^x-1}{\sin x}$

Мне почему-то кажется, что нет. А если нет, то можно ли сделать так?

$\displaystyle\lim_{x\to 0}\;\;\dfrac{e^{4x}-1}{\sin x}=4$ и $\displaystyle\lim_{x\to 0}\;\;\dfrac{e^x-1}{\sin x}=1$, значит

$\displaystyle\lim_{x\to 0}\;\;\dfrac{e^{4x}-e^x}{\sin x}=\displaystyle\lim_{x\to 0}\;\;\dfrac{e^{4x}-1}{\sin x}-\displaystyle\lim_{x\to 0}\;\;\dfrac{e^x-1}{\sin x}=4-1=3$

[Combat Zone]

Tosha в сообщении #1611177 писал(а):

И еще, остался небольшой вопрос по пределам. Можно ли делать такой переход?

$\displaystyle\lim_{x\to 0}\;\;\dfrac{e^{4x}-e^x}{\sin x}=\displaystyle\lim_{x\to 0}\;\;\dfrac{e^{4x}-1}{\sin x}-\displaystyle\lim_{x\to 0}\;\;\dfrac{e^x-1}{\sin x}$

Мне почему-то кажется, что нет.

Да, нельзя.

Tosha в сообщении #1611177 писал(а):

А если нет, то можно ли сделать так?

Можно. Это стандартный фокус: добавить-вычесть единицу в числителе и развалить на сумму двух дробей.

Вот как раз в этом примере никакой Тейлор не нужен, в отличие от предыдущего, нравится ли это кому-то или нет.

[tolstopuz]

Tosha в сообщении #1611177 писал(а):

$\displaystyle\lim_{x\to 0}\;\;\dfrac{e^{4x}-e^x}{\sin x}$

Еще можно вынести $e^x$ за скобку и за предел.

[Tosha]

Спасибо всем большое за помощь