Kevsh, не волнуйтесь, всё будет хорошо.
Бесконечная (в обе стороны) последовательность

— это функция, которая для любого целочисленного индекса

выдаёт значение отсчёта
![$y[n].$ $y[n].$](https://dxdy-04.korotkov.co.uk/f/b/9/2/b928eb86455965e06fd03a11022e81ae82.png)
Примеры: последовательность

— "вход", правая часть разностного уравнения; последовательность

— "выход", решение уравнения; последовательность

для которой
![$\delta[0]=1$ $\delta[0]=1$](https://dxdy-02.korotkov.co.uk/f/d/c/1/dc15aa6e4f91c3c1179274b760679c9382.png)
, остальные отсчёты равны нулю.
Последовательности можно складывать:

означает
![$z[n]=x[n]+y[n]$ $z[n]=x[n]+y[n]$](https://dxdy-01.korotkov.co.uk/f/c/c/1/cc1ee10b0cf2c05bef835bd693359a9482.png)
для всех

.
Последовательность можно умножить на число:

означает
![$z[n]=ay[n]$ $z[n]=ay[n]$](https://dxdy-03.korotkov.co.uk/f/a/7/b/a7b5cd6f2fc5e856567f423b98a9b3cf82.png)
для всех

.
Тождественный оператор

по определению не меняет последовательность:

.
Введём оператор сдвига

, который произвольную последовательность

сдвигает на один отсчёт, давая новую последовательность

:

означает, что для любого

справедливо
![$z[n]=y[n-1]$ $z[n]=y[n-1]$](https://dxdy-02.korotkov.co.uk/f/5/6/d/56d1cb9388c26264955b98f95032d3ed82.png)
(Из формулы ясно, в какую сторону сдвигается последовательность.) Оператор сдвига, повторённый

раз, обозначается

:

означает, что для любого

справедливо
![$z[n]=y[n-k]$ $z[n]=y[n-k]$](https://dxdy-03.korotkov.co.uk/f/a/7/5/a75d9d973db47d4145bb3573bf13812182.png)
В этих обозначениях исходное уравнение запишется так:

,
или

,
или

, где


(У меня множитель

входит в состав

, так лучше.)
Разберём подробно:

У конкретного оператора

(и многих других аналогичных) есть два важных свойства. Пусть

— последовательности,

— числа.
1)

(линейность)
2)

Словами:
1) Если

— решения для правых частей

, то

— решение для правой части

.
(Проверка)
2) Если

— решение для правой части

, то

— решение для правой части

.
(Проверка)
Более того,

— решение для

. То есть "для сдвинутой правой части подойдёт сдвинутое решение".
Вот, есть у нас уравнение:
![$y[n]-\frac{1}{2}y[n-1]=x[n]+2x[n-1]+x[n-2]$ $y[n]-\frac{1}{2}y[n-1]=x[n]+2x[n-1]+x[n-2]$](https://dxdy-03.korotkov.co.uk/f/2/f/7/2f7d9f08f731304c3dd70a5b0e50685d82.png)
. Нужно найти решение для
![$x[n]=\delta [n]$ $x[n]=\delta [n]$](https://dxdy-01.korotkov.co.uk/f/0/0/8/00883d1ba24e0e3e208d328b28d67c2982.png)
.
Прежде всего, изменим обозначения (мои лучше!):
Цитата:
Вот, есть у нас уравнение:
![$y[n]-\frac{1}{2}y[n-1]=x[n]$ $y[n]-\frac{1}{2}y[n-1]=x[n]$](https://dxdy-04.korotkov.co.uk/f/3/c/e/3cea230615bc58b8cef42d4dbc20f3de82.png)
. Нужно найти решение для
![$x[n]=\delta[n]+2\delta[n-1]+\delta[n-2]$ $x[n]=\delta[n]+2\delta[n-1]+\delta[n-2]$](https://dxdy-04.korotkov.co.uk/f/f/c/e/fce3a404a418e1afa126f0098ca715ba82.png)
.
Итак!


, где

Из вышесказанного следует, что достаточно решить уравнение

Тогда решением для правой части

будет

Кстати, теперь Вам будет намного легче понять то, о чём говорил
TOTAL.