Имеет ли функция многих переменных локальные минимумы?

[dgwuqtj]

Нет, у вас для каждого слагаемого своё $m$. Если $g_k$ являются точными квадратами, как вы везде пишете, то вообще $m = 1$. В этом случае выпуклость проверить проще.

[Missiir]

dgwuqtj в сообщении #1610560 писал(а):

Если $g_k$ являются точными квадратами, как вы везде пишете, то вообще $m = 1$

а как они могут быть неточными квадратами?
что же получается, путём афинного преобразования всё сводится только к одной переменной z?

-- 19.09.2023, 16:25 --

тогда вторая производная:

$$2\frac{c}{(z^2+c)^{3/2}}$$

и z это и есть t как у Вас, так?

[dgwuqtj]

Так. Например, $g_k = x_1^2 + x_1 x_2 + x_2^2$ точым квадратом не является. В смысле, точным квадратом многочлена первой степени.

[Missiir]

мне непонятно одно, да $\sqrt{t^2+c}$ выпуклая, но относительно переменной t, которая здесь вообще остаётся одна,
из чего следует, что она выпуклая также в пространстве $\vec{x}$ ???

-- 19.09.2023, 18:04 --

ведь $\vec{x}\to t$ это не взаимно однозначное преобразование

[dgwuqtj]

Есть такой общий факт. Если $f \colon \mathbb R^n \to \mathbb R$ выпуклая, а $g \colon \mathbb R \to \mathbb R$ выпуклая возрастающая, то $g \circ f$ выпуклая. Проверяется по определению, гладкость не требуется.

[Missiir]

dgwuqtj в сообщении #1610591 писал(а):

$g \circ f$

это Вы так обозначили композицию?

[dgwuqtj]

Да.

[Missiir]

dgwuqtj в сообщении #1610591 писал(а):

Если $f \colon \mathbb R^n \to \mathbb R$ выпуклая

ну так афинное преобразование не является строго выпуклым

[dgwuqtj]

А я ничего не говорю про строгую выпуклость. Она по-другому доказывается.

[Missiir]

dgwuqtj в сообщении #1610591 писал(а):

$g \colon \mathbb R \to \mathbb R$

это возведение в квадрат?

[dgwuqtj]

Это $t \mapsto \sqrt{t^2 + c}$.

[Missiir]

dgwuqtj
тогда можно проще, функция

$$f=\sqrt{(a_1x_1+a_2x_2+...+a_nx_n+b)^2+c^2}$$

ведь получается выпуклая?
линейное преобразование, как я Вас понял, хоть и не строго, но выпуклое, остальное тоже самое, верно?

[dgwuqtj]

Ага.

[Missiir]

Спасибо Вам dgwuqtj, кажется у меня всё сложилось!