Имеет ли функция многих переменных локальные минимумы?

[Missiir]

dgwuqtj но тогда

$$g_k=t$$

и не является строго выпуклой

-- 19.09.2023, 14:27 --

dgwuqtj в сообщении #1610513 писал(а):

сначала аффинной заменой $g_k$ сводится к виду $x_1^2 + \ldots + x_l^2 + c$

а такое вообще всегда возможно?

[dgwuqtj]

Не, $g_k = t^2 + c$ и $\frac{g_k}{y_k} + y_k = 2 \sqrt{t^2 + c}$ (там, где $a_k$ маленькое). Строго выпуклая при $c > 0$.

[Missiir]

dgwuqtj в сообщении #1610520 писал(а):

Не, $g_k = t^2 + c$ и $\frac{g_k}{y_k} + y_k = 2 \sqrt{t^2 + c}$ (там, где $a_k$ маленькое). Строго выпуклая при $c > 0$.

вообще, это очень важный момент

[dgwuqtj]

Любой многочлен второй степени аффинной заеной переменных сводится к виду $_1^2 + \ldots + x_l^2 - x_{l + 1}^2 - \ldots - x_p^2 + c$ или то же самое с дополнительным слагаемым $x_{p + 1}$. А всюду неотрицательный многочлен не может иметь такого слагаемого и $l = p$.

-- 19.09.2023, 14:43 --

Missiir в сообщении #1610522 писал(а):

dgwuqtj в сообщении #1610520 писал(а):

Не, $g_k = t^2 + c$ и $\frac{g_k}{y_k} + y_k = 2 \sqrt{t^2 + c}$ (там, где $a_k$ маленькое). Строго выпуклая при $c > 0$.

вообще, это очень важный момент

Вы учтите, что от исходных переменных она не строго выпуклая, т.к. даже не от всех $x_i$ может зависеть. Зато вся сумма при дополнительных условиях строго выпуклая.

[Missiir]

Так?

$$g_k=(a_1x_1+a_2x_2+...+a_nx_n+b)^2=z_1^2+z_2^2+...z_m^2+c, m\leq n$$

$$\vec{z}=A\vec{x}+\vec{b}$$

[dgwuqtj]

Нет, там не $n$ квадратов, а может быть меньше. У вашей функции квадрат один.

[Missiir]

dgwuqtj я поправил, теперь так?

[dgwuqtj]

Ага, всё так.

[Missiir]

Это тоже правильно?

$$t^2=z_1^2+z_2^2+...+z_m^2$$

$$\frac{g_k}{y_k}+y_k=2\sqrt{t^2+c}=2\sqrt{z_1^2+z_2^2+...+z_m^2+c}$$

[dgwuqtj]

да

[Missiir]

dgwuqtj матрица Гёссе получается диагональная, в том весь смысл?

[dgwuqtj]

да

[Missiir]

тогда t не нужно?

-- 19.09.2023, 15:38 --

i-й диагональный элемент Гессиана получается таким, т.е. он всегда положителен

$$2\frac{\sum\limits_{j\ne i}^{m}z_j^2+c}{(z_1^2+...+z_m^2+c)^{3/2}}$$

значит $f_k$ строго выпуклая, а значит и $F()$ строго выпуклая. Так?

[dgwuqtj]

Если вы умеете показывать выпуклость $\sqrt{g_k}$ напрямую, то не нужно.

[Missiir]

dgwuqtj правильно ли я понимаю, что $n=m$ , будет выполняться, когда матрица исходных коэффициентов $g_k$ имеет ранг $n$?