Тотальная радиация

[Утундрий]

В некотором, не сильно искривлённом, пространстве-времени бежит в направлении оси $x$ плоская электромагнитная волна, следующий тензор энергии-импульса (ТЭИ) создавая:

$$\left( {\begin{array}{cccc} 1 & -1 & 0 & 0 \\ -1 & 1 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 0 \\ \end{array} } \right)$$

Найдите ТЭИ, создаваемый суперпозицией плоских волн одинаковой интенсивности, распространяющихся по всем направлениям равномерно.

[Утундрий]

Нужно всего лишь осреднить по сфере.

(ОТВЕТ)

$$T_{\mu \nu} \sim \left( {\begin{array}{cccc} 3 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 1 \\ \end{array} } \right)$$

[Утундрий]

Полагаю, все, кто решил не решать эту задачу, давно и успешно её не решили; так что решительно публикую два подхода к её решению.

Подход математический

Сделаем два пространственных поворота, установив ось $x$ в направлении точки на сфере, со сферическими координатами $(\theta,\varphi)$. Матрица перехода получается следующей:

$$M=\left( {\begin{array}{cccc} 1 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & \cos \theta & 0 & - \sin \theta \\ 0 & 0 & 1 & 0 \\ 0 & sin \theta & 0 & \cos \theta \\ \end{array} } \right) \left( {\begin{array}{cccc} 1 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & \cos \varphi & - \sin \varphi \\ 0 & 0 & \sin \varphi & \cos \varphi \\ \end{array} } \right) = \left( {\begin{array}{cccc} 1 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & \cos \theta & -\sin \theta \sin \varphi & -\sin \theta \cos \varphi \\ 0 & 0 & \cos \varphi & - \sin \varphi \\ 0 & \sin \theta & \cos \theta \sin \varphi & \cos \theta \cos \varphi \\ \end{array} } \right)$$

Пусть в штрихованной системе матрица ТЭИ имеет заявленный вид. Тогда в исходной она будет такой:

$$M^T \cdot \left( {\begin{array}{cccc} 1 & -1 & 0 & 0 \\ -1 & 1 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 0 \\ \end{array} } \right) \cdot M =\left( {\begin{array}{cccc} 1 & -\cos \theta & \sin \theta \sin \varphi & \sin \theta \cos \varphi \\ -\cos \theta & \cos^2 \theta & -\sin \theta \cos \theta \sin \varphi & - \sin \theta \cos \theta \cos \varphi \\ \sin \theta \sin \varphi & - \sin \theta \cos \theta \sin \varphi & \sin^2 \theta \sin^2 \varphi & \sin^2 \theta \sin \theta \cos \varphi \\ \sin \theta \cos \varphi & - \sin \theta \cos \theta \cos \varphi & \sin^2 \theta \sin \theta \cos \varphi & \sin^2 \theta \cos^2 \varphi \\ \end{array} } \right) $$

Осредним элементы матрицы по углу $\varphi$, считая его случайной величиной, равномерно распределённой в интервале $[0,2\pi]$. Тогда

$$\langle \sin \varphi \rangle=\langle \cos \varphi \rangle=0, \qquad \langle \sin^2 \varphi \rangle=\langle \cos^2 \varphi \rangle=\dfrac 1 2$$

и матрица ТЭИ принимает вид

$$\left( {\begin{array}{cccc} 1 & -\cos \theta & 0 & 0 \\ -\cos \theta & \cos^2 \theta & 0 & 0 \\ 0 & 0 & \dfrac 1 2 \sin^2 \theta & 0 \\ 0 & 0 & 0 & \dfrac 1 2 \sin^2 \theta \\ \end{array} } \right) $$

Теперь осредним по углу $\theta$, считая его случайной величиной, распределённой на интервале $[0,\pi]$ с плотностью $\sim \sin \theta$. Тогда

$$\langle \cos \theta \rangle=0, \qquad \langle \cos^2 \theta \rangle=\dfrac 1 3, $$

и ответ таков:

$$\left( {\begin{array}{cccc} 1 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 1/ 3 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 1/ 3 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 1 /3 \\ \end{array} } \right) $$

Подход физический

В силу симметрии, усреднённый ТЭИ должен иметь вид $diag(a,b,b,b)$. Причём его след должен быть равен нулю, так как усреднённый ТЭИ линейно накомбинирован из бесследовых тензоров. Следовательно, искомый усреднённый ТЭИ $\sim diag(3,1,1,1)$.