Средний объём тетраэдра

[intex2dx]

Прошу помочь со следующей задачей:
"На единичной сфере произвольно выбираются 4 точки. Найти средний объем тетраэдра с вершинами в этих точках."
Какие у меня есть основные идеи: есть 2 способа векторно задать тетраэдр:
1) задать четыре случайных радиус-вектора $r_1, r_2, r_3, r_4$ из центра окружности в вершины тетраэдра
2) зафиксировать одну из вершин на сфере и задать три случайных вектора из неё к другим вершинам
3) задать вектор на окружности радиуса $\sqrt{3}$ в $\mathbb{R}^9$ (что-то слишком сложное для данной задачи)
При этом я планирую, фиксируя все векторы, кроме одного, усреднять объём по этому вектору, затем усреднять полученное выражение по следующему вектору и т.д. Наиболее удобным мне кажется первый способ, поэтому я распишу его подробнее.
Заметим, что из вершины $A_1$ выходят три вектора вдоль рёбер тетраэдра: $\vec{r}_2 - \vec{r}_1, \vec{r}_3 - \vec{r}_1, \vec{r}_4 - \vec{r}_1$

Тогда объём тетраэдра равен:

$$V = \left| \frac{1}{6} (\vec{r}_2 - \vec{r}_1, \vec{r}_3 - \vec{r_1},\vec{r}_4 - \vec{r}_1) \right|$$

Проблема, которую я не могу решить - в этом модуле. Если последовательно усреднять моим способом, то непонятно, как раскрывать модуль, и поэтому усреднить выражение я не могу. Аналогичная ситуация вроде бы возникает и во втором способе задания тетраэдра.
Какие ещё методы усреднения тут можно предложить или как избавиться от модуля в моём методе решения?

[dgwuqtj]

Если вы собираетесь просто так считать в лоб, то имеет смысл зафиксировать $r_1$ (например, как северный полюс) и плоскость $O r_1 r_2$ (например, нулевой меридиан). Потом выразить всё в, скажем, сферических координатах и честно интегрировать с учётом плотностей. Модуль тогда будет не самой большой проблемой, зато возникнет куча тригонометрии.

[intex2dx]

Хочу отметить сразу 2 момента:
1) я работаю с равномерным распределением, все плотности у меня равны $1/4\pi$
2) Я не собираюсь просто так считать в лоб (хотя полностью от интегрирования не отказываюсь, поэтому попробую решить задачу Вашим способом). В идеале найти такое решение, где объём выражался через линейные функции радиус-векторов, без корней и других иррациональностей (максимум, что можно - возведение в натуральную степень). Тогда усреднение можно будет производить с использованием инвариантных тензоров, что удобнее, чем интегрировать в лоб.

[Geen]

intex2dx в сообщении #1609196 писал(а):

Наиболее удобным мне кажется первый способ

А Вы уверены в том, что все способы будут давать один и тот же результат?

[dgwuqtj]

intex2dx в сообщении #1609200 писал(а):

я работаю с равномерным распределением, все плотности у меня равны $1/4\pi$

Конечно, просто напомню, что при фиксации окружности, по которой бегает $r_2$, распределение по окружности уже не будет равномерным.

[intex2dx]

Geen в сообщении #1609201 писал(а):

intex2dx в сообщении #1609196 писал(а):

Наиболее удобным мне кажется первый способ

А Вы уверены в том, что все способы будут давать один и тот же результат?

У нас по условию 4 точки равномерно распределены по сфере. Второй способ задания по факту эквивалентен тому, что мы выбрали некоторую выделенную точку на сфере, затем стали случайно выбирать 4 точки первым способом. Каждый такой выбор, задаст 3 вектора выходящих из точки, которую мы, например, выбираем первой. Перенесём эту точку в выделенную точку и получим второй способ задания четырёх случайных точек. Поэтому ответ не изменится.
Третий же способ эквивалентен первому, только у меня ошибка - нужно брать точку из $\mathbb{R}^{12}$, а не $\mathbb{R}^9$

[zykov]

Наверно проще, если выразить объем тетраэдра в виде детерминанта (для симметрии).

[dgwuqtj]

Ещё можно попробовать найти распределение расстояния от $O$ до одной из граней тетраэдра (точнее, сдержащей её плоскости). Из такого распределения легко выразить распределение высоты. А распределение площади основания можно найти, решив сначала двумерную задачу с треугольником.