Найти фундаментальное решение дифференциального оператора

[Kanaev]

Необходимо найти фундаментальное решение дифференциального оператора $L=\frac{d^2}{dx^2}+a^2$.
Подействуем на $L\xi=\delta$ преобразованием Фурье:

$(-i\xi)^2F[\xi]+a^2F[\xi]=1$ ,

$F[\xi]=\frac{1}{a^2-\xi^2}$ .

Учитывая, что $F^-1[f(\xi)]=\frac{1}{2\pi}F[f(-\xi)]$ , получаем:

$\xi=\frac{1}{2\pi}F[\frac{1}{a^2-\xi^2}]=\frac{1}{2\pi}\int\limits_{-\infty}^{+\infty}\frac{e^{ i \xi x}}{a^2-\xi^2}d\xi$.

Отбросим пока деление на $2\pi$ и будем искать методами ТФКП интеграл:

$$I=\int\limits_{-\infty}^{+\infty}\frac{e^{ i \xi x}}{a^2-\xi^2}d\xi.$$

Выберем такой контур интегрирования


$\oint\limits_{}^{}=\int\limits_{C_R}^{}+\int\limits_{C_a}^{}+\int\limits_{C_{-a}}^{}+\int\limits_{-\infty}^{-a-\varepsilon}+\int\limits_{-a+\varepsilon}^{a-\varepsilon}+\int\limits_{a+\varepsilon}^{+\infty}$

Сумма последних трех интегралов (в пределе $\varepsilon \to 0$) будет равна искомому интегралу $I$.

$\oint\limits_{}^{}\frac{e^{ i \xi x}}{(a-\xi) (a+\xi)}d\xi=2\pi i \Sigma \operatorname{res} = 2 \pi i (-\frac{e^{ i a x}}{2 a}+\frac{e^{ - i a x}}{2 a})=\frac{2\pi}{a}\sin{ax}$ ,

интеграл по полуокружности $C_R$ равен нулю (в пределе R$\to +\infty$) по лемме Жордана при x>0, значит :

$I=\theta(x)\bigg (\frac{2\pi}{a}\sin{ax}-\int\limits_{C_a}^{}-\int\limits_{C_-a}^{}\bigg )$ .

Первые два члена ряда Тейлора $e^{ i \xi x}$ около точки $a$ : $e^{ i \xi x}\approx e^{ i a x} + i x e^{ i a x} (\xi -a) $ .

$\int\limits_{C_a}\frac{e^{i a x}+ixe^{iax}(\xi-a)}{(a-\xi)(a+\xi)}d\xi$ ,

выполним замену $\xi=a+r e^{i\varphi}$, $d\xi=ire^{i\varphi}d\varphi$ и навесим $\lim\limits_{r\to 0}^{}$ .

$\lim\limits_{r\to 0}^{}\int\limits_{-\pi}^{0}\frac{ire^{i( a x+\varphi)}-r^2 xe^{i(ax+2\varphi)}}{-re^{i\varphi}(2a+re^{i \varphi})}d\varphi=\lim\limits_{r\to 0}^{}\int\limits_{-\pi}^{0}\frac{ire^{i( a x+\varphi)}}{-re^{i\varphi}(2a+re^{i \varphi})}d\varphi=\int\limits_{-\pi}^{0}\frac{e^{i( a x+\varphi)}}{2 i a e^{i\varphi}}d\varphi=\int\limits_{-\pi}^{0}\frac{e^{i a x}}{2 i a}d\varphi=\frac{\pi e^{i a x}}{2 i a}$

Аналогично можно получить, что $\int\limits_{C_{-a}}^{}=-\frac{\pi e^{-i a x}}{2 i a}$ .

Итак, $I=\theta(x) (\frac{2\pi}{a}\sin{ax}-\frac{\pi e^{i a x}}{2 i a}+\frac{\pi e^{-i a x}}{2 i a} )=\theta(x)\frac{\pi}{a}\sin{ax}$

$\xi=\theta(x)\frac{\sin{ax}}{2a}$

Ответ неверный, двойки быть не должно. У меня это уже вторая подобная задача, в которой где-то появляется ненужная двойка. Может я выбрал плохой контур для интегрирования? Это задача №11.2 из книги В.С. Владимирова "Сборник задач по уравнениям математической физики" . Помогите, пожалуйста

[Combat Zone]

Давайте так. Чтобы короче. В задачнике формулировка - доказать, что. Вот и докажите, пожалуйста. Искать пока не просили.

[Padawan]

(Оффтоп)

Kanaev в сообщении #1608352 писал(а):

задача №11.2 из книги В.С. Владимирова "Сборник задач по уравнениям математической физики"

Спасибо за задачник и задачу, это очень круто!

[svv]

Kanaev в сообщении #1608352 писал(а):

Подействуем на $L\xi=\delta$ преобразованием Фурье:

$(-i\xi)^2F[\xi]+a^2F[\xi]=1$ ,

$F[\xi]=\frac{1}{a^2-\xi^2}$ .

Учитывая, что $F^-1[f(\xi)]=\frac{1}{2\pi}F[f(-\xi)]$ , получаем:

$\xi=\frac{1}{2\pi}F[\frac{1}{a^2-\xi^2}]=\frac{1}{2\pi}\int\limits_{-\infty}^{+\infty}\frac{e^{ i \xi x}}{a^2-\xi^2}d\xi$.

Вы здесь обозначаете две разные величины одной буквой. У Владимирова фундаментальное решение обозначается $\mathcal E$, частота $\xi$.
$\begin{array}{l}(-i\xi)^2F[\mathcal E](\xi)+a^2F[\mathcal E](\xi)=1\\[1ex]F[\mathcal E](\xi)=\frac{1}{a^2-\xi^2}\\\mathcal E(x)=\frac{1}{2\pi}\text{v.p.}\int\limits_{-\infty}^{+\infty}\frac{e^{-i \xi x}}{a^2-\xi^2}d\xi\end{array}$

[svv]

Таким способом, как Вы решали, у Вас должно было получиться решение
$\mathcal E(x)=\operatorname{sign} x\;\frac{\sin ax}{2a}$,
с двойкой в знаменателе и с функцией $\operatorname{sign}$ вместо $\theta$. И это тоже правильное решение, оно отличается от того, что в ответах, на слагаемое $f(x)$, удовлетворяющее однородному уравнению $Lf=0$.

[Combat Zone]

svv
В обратном преобразовании Фурье тут нужен плюс в показателе экспоненты.
Но это мелочи.
Куда хуже, что преобразование Фурье в классическом смысле применяется к абсолютно интегрируемым функциям, а его значение в этой ситуации непрерывно. Наша рациональная функция непрерывной не является, а нас все равно уперло считать обратное преобразование Фурье.

А надо вспомнить, что нам и не надо так надрываться, с нас достаточно найти результат в классе обобщенных функций, и кстати, не забыть посмотреть, в каком именно.

Как ни странно, ошибки ТС почти полностью компенсируют друг друга, и результат получился бы без пяти минут верным (если только можно считать верным ответ, основанный на неверных предположениях), -- но при отрицательных $x$ он не считает свой интеграл, взяв его по умолчанию нулевым, нарисовав функцию Хевисайда без должных на то оснований. Если б посчитал, у него бы получилось, вопреки всему, фундаментальное решение - но не то, которое указано в задачнике. Поскольку задачник ограничивается совершенно определенным классом в этом месте.

И я все же продолжаю настаивать, вслед за Владимировым, на целесообразности сперва доказать (номер 11.2), что нечто является ф.р., а потом уже искать (номер 11.3). Успеется. В этом есть смысл.

[svv]

Combat Zone в сообщении #1608497 писал(а):

В обратном преобразовании Фурье тут нужен плюс в показателе экспоненты.
Но это мелочи.
Куда хуже, что преобразование Фурье в классическом смысле применяется к абсолютно интегрируемым функциям, а его значение в этой ситуации непрерывно. Наша рациональная функция непрерывной не является, а нас все равно уперло считать обратное преобразование Фурье.

Не спешите, пожалуйста! На оба Ваших возражения отвечает упражнение 9.5, 8 в книге Владимирова:

Сам я сначала нашёл фундаментальное решение сшивкой двух синусоид. Это заняло минуту. Потом решил посмотреть, что даёт Фурье. (Я не вникал в то, как вычислял интеграл ТС.) Получилось то, что я написал выше. Получилось быстро, потому что я знал, что для главного значения надо брать половину вычета.

[Combat Zone]

Читаю медленно и по слогам. Пусть эф из эль один. Задумываюсь. И?
Про плюс забираю - раз прямое преобразование у Владимирова с плюсом, то тут, конечно, минус.

Не могу найти "оба возражения". У меня одно возражение.

[svv]

Combat Zone в сообщении #1608500 писал(а):

Читаю медленно и по слогам. Пусть эф из эль один. Задумываюсь. И?

Картинку я привёл не по делу. Точнее, см. там только знак.

Combat Zone в сообщении #1608497 писал(а):

Наша рациональная функция непрерывной не является, а нас все равно уперло считать обратное преобразование Фурье.

Спокойно, без паники, не нужно нагнетать.
Владимиров определяет прямое и обратное преобразование Фурье в пространстве обобщённых функций медленного роста $\mathscr I'$. В задачнике это делается в §9, а в книге Владимирова "Обобщённые функции в математической физике" это §6.
В этом пространстве лежит и наше фундаментальное решение $\mathcal E$, и его преобразование Фурье $F[\mathcal E]$ (понимаемое как функционал на пространстве основных функций, см. ниже). Так что претензии могут быть только к способу вычисления обратного преобразования Фурье, а не по поводу его применимости к нашим функциям.

В частности:
$F[\operatorname{sign}x](\xi)=2i\mathscr P\frac 1{\xi}$ (упражнение 9.11,3),
где функционал $\mathscr P\frac 1{\xi}$ действует на функции $\varphi$ из пр-ва основных функций по формуле
$\left(\mathscr P\frac 1{\xi},\varphi\right)=\text{v.p.}\int\limits_{-\infty}^{+\infty}\frac{\varphi(\xi)}{\xi}d\xi=\lim\limits_{\varepsilon\to +0}\left(\int\limits_{-\infty}^{-\varepsilon}+\int\limits_{\varepsilon}^{\infty}\right)\frac{\varphi(\xi)}{\xi}d\xi$
Дальше для краткости вместо $\mathscr P\frac 1{\xi}$ пишу $\frac 1 {\xi}$.
Отсюда с учётом свойства (4, §9) получаем
$F[e^{\pm iax}\operatorname{sign}x](\xi)=\frac {2i}{\xi\pm a}$
$F[\sin ax\,\operatorname{sign}x](\xi)=\frac 1{\xi+a}-\frac 1{\xi-a}=\frac {2a}{a^2-\xi^2}$

В общем, из §§9,11 задачника видно, что применение метода Фурье в подобных случаях соответствует идеологии книги.

[Combat Zone]

svv в сообщении #1608568 писал(а):

Спокойно, без паники, не нужно нагнетать.

Не понимаю. Вы предлагаете не спешить - я соглашаюсь, говорю, давайте. Где именно я нагнетаю?
Знак (и нормализующий коэффициент, и показатель) - это все зависит от того, как в источнике определялось прямое преобразование. И мне это несколько без разницы, поскольку все, что я хочу сказать - это что решение нужно искать в классе обобщенных функций. К этому вы в итоге и пришли. Несколько искусственно, но и то хлеб. В одномерном случае обычно используется результат, изложенный в номере 8.26. И это вполне соответствует идеологии книги, поскольку в первых номерах 11 параграфа фундаментальное решение требуется указать в классе $\mathcal D'_+$, а не пространстве медленно растущих. Собственно, оттуда и результат, именно потому он такой. Да, в номере 11.2 указано пространство не было - но только потому, что и задание было другое. Поэтому и двоечка там исчезла: дельту все равно нужно как-то сделать.

svv в сообщении #1608568 писал(а):

Владимиров определяет прямое и обратное преобразование Фурье в пространстве обобщённых функций

Правильно, только это я и говорю. Это было единственное: регулярным образом считать его ни в коем случае не надо, надо - в пространстве обобщенных.

-- 09.09.2023, 19:08 --

Combat Zone в сообщении #1608497 писал(а):

А надо вспомнить, что нам и не надо так надрываться, с нас достаточно найти результат в классе обобщенных функций, и кстати, не забыть посмотреть, в каком именно.

-- 09.09.2023, 19:39 --

Спорим, ТС уже надоело?

[Kanaev]

Combat Zone в сообщении #1608447 писал(а):

В задачнике формулировка - доказать, что. Вот и докажите, пожалуйста.

Подставить $\mathcal E=\theta(x)\frac{\sin{ax}}{a}$ в $L\mathcal E=\delta$ и убедиться, что все сходится, я могу без проблем. Проблемы начались в следующем задании, где надо искать это ФР, поэтому я решил вернуться и найти ФР в задаче (как мне кажется) попроще.

svv в сообщении #1608490 писал(а):

Вы здесь обозначаете две разные величины одной буквой

Простите, что так получилось, мне стыдно

Combat Zone в сообщении #1608585 писал(а):

Спорим, ТС уже надоело?

Нет, мне не надоело, сейчас сажусь разбираться с формулами Сохоцкого и главными значениями.

[Combat Zone]

Kanaev в сообщении #1608600 писал(а):

Нет, мне не надоело, сейчас сажусь разбираться с формулами Сохоцкого и главными значениями.

Это похвально, но лучше прочитайте текст задачи 11.1 и примите ее к сведению.