Решение уравнения с помощью графиков

[sergey zhukov]

Combat Zone в сообщении #1608066 писал(а):

Понимаете, эта ваша одна третья - то же самое, что две шестых...

Да, похоже, что так.

[EUgeneUS]

охохо. Обсуждалось уже много раз.
Знаком радикала (с указанием степени) могут обозначаться три разных корня!

1. Арифметический корень (principal root) - в реальных числах определен только на положительной полуоси. Но может быть продолжен на комплексную плоскость (см. ниже).
То есть $\sqrt[n]{x}=a$ - это решение в положительных числах уравнения $x = a^n$
2. Алгебраическйи корень (real-valued root). По определению $\sqrt[n]{x}=a$ - это решение в вещественных числах уравнения $x = a^n$
Для нечетных $n$ - область определения вся числовая ось.
Для четных $n$ выбирается положительное решение.
3. В комплексных числах. По определению: $\sqrt[n]{z}=a$ - это решение в комплексных числах уравнения $z = a^n$
При этом функция-то оказывается многозначной, поэтому для определенности:
а) на положительной оси выбирается такая ветвь, чтобы совпадала с арифметическим корнем
б) на отрицательной оси выбирается ветвь - продолжение выбранной ветви на положительной полуоси. При этом для нечетных $n$ на отрицательной полуоси этот корень не будет совпадать с "алгебраическим"!

Кстати, все три типа корня Вальфрамальфа умеет показывать, для этого есть специальные кнопочки.

А для решения задач как в стартовом посте, просто нужно понять\определить конекст - какой из видов корней в данном случае понимается под знаком радикала.

[EUgeneUS]

Combat Zone в сообщении #1608066 писал(а):

Понимаете, эта ваша одна третья - то же самое, что две шестых...

эхэхэх.
"Зачем делать сложным то, что проще простого"?

1.
$x^{\frac{1}{n}} = \sqrt[n]{x}$ - по определению
$x^{\frac{m}{n}} = (\sqrt[n]{x})^m = \sqrt[n]{x^m}$

2. Утверждения выше:
а) верны всегда
б) но могут давать разный результат, в зависимости от того, какой корень используем.

3.
а) Используем арифметический корень. Он определен только на положительной полуоси. Всё. Дальше голову не греем.
б) Используем алгебраический корень.
По его определению $\sqrt[n]{x^m} = a$ - это решение уравнения $x^m = a^n$ в действиетльных числах. Если решения два, то нужно взять положительное.
4. Тогда
а) $x^{\frac{1}{3}} = x^{\frac{2}{6}} = \sqrt[3]{x} = \sqrt[6]{x^2}$ и никаких проблем с сократимыми показателями не возникает.
б) решений уравнения $ \sqrt[3]{x} = -1$ нет, если использовать арифметический корень
б) $-1$ является решением этого уравнения, если использовать алгебраический корень.

Вся путаница возникает, потому что не объясняется внятно разница между разными корнями, и не рассказывается где какой и когда нужно использовать.

[sergey zhukov]

EUgeneUS
А как по виду корня узнать, арифметический это корень или алгебраический? Вопрос об области определения функции просто переформулирован в вопрос о том, что это за функция.

[EUgeneUS]

sergey zhukov
Из контекста
И, конечно, при решении одной задачи нужно использовать одинаковый вид корней

[Combat Zone]

EUgeneUS в сообщении #1608095 писал(а):

эхэхэх.
"Зачем делать сложным то, что проще простого"?

Вы о чем? Я объясняю, почему так - чтобы определение степенной функции было корректным. А ваше эх о чем?

-- 06.09.2023, 13:25 --

EUgeneUS в сообщении #1608095 писал(а):

$x^{\frac{1}{n}} = \sqrt[n]{x}$ - по определению
$x^{\frac{m}{n}} = (\sqrt[n]{x})^m = \sqrt[n]{x^m}$

При неотрицательных значениях аргумента.
Не всегда.

EUgeneUS в сообщении #1608095 писал(а):

а) Используем арифметический корень. Он определен только на положительной полуоси. Всё. Дальше голову не греем.

В школьном курсе если написан знак корня из неотрицательного числа - имеется в виду арифметический корень. Другие корни там не используются.

И еще раз, раз столько раз было и не зашло - $f(x)=\sqrt[n]{x}$ при четных $n$ определен на положительной полуоси, при нечетных - для всех вещественных значений аргумента.

[EUgeneUS]

Combat Zone в сообщении #1608128 писал(а):

И еще раз, раз столько раз было и не зашло - $f(x)=\sqrt[n]{x}$ при четных $n$ определен на положительной полуоси, при нечетных - для всех вещественных значений аргумента.

и ещё раз.
Есть математические объекты, а есть значки их обозначающие. И судя по разным данным в разных источниках - тут какого-то общепринятого согласия нет, как обозначать разные объекты.

На примере.
Рассмотрим движение с постоянным рывком (третьей производной перемещения по времени) - $j$. И для простоты начальные значения координаты, скорости и ускорения пусть будут нулевыми.

Тогда:
$a(t) = jt$
$v(t) = \frac{1}{2} t^2$
$x(t) = \frac{1}{6} jt^3$
Пусть нас интересует значение скорости в зависимости от координаты.
И Вы хотите сказать, что:
а) Можно записать так: $v(x) = \frac{1}{2} (\sqrt[3]{\frac{6x}{j}})^2$, потому эта конструкция позволяет отрицательные аргументы (а значит могут быть отрицательное время и отрицательное перемещение).
б) Но нельзя записать так: $v(x) = \frac{1}{2} (\frac{6x}{j})^{\frac{2}{3}}$, потому что эта конструкция запрещает отрицательный аргумент, а время с координатой, с другой стороны, отрицательными могут быть по физическому смыслу.
??
Да, ладно.
Как будет удобно, так и будет записано. Эти конструкции эквивалентны (да, понимаю, что существует и другое мнение).

Вольфрамальфа, кстати, не определился со своим мнением.
Для $x^{\frac{1}{3}}$ он всегда пишет, что это и есть $\sqrt[3]{x}$, вне зависимости от того, какой тип корня кнопочками установить.
А для $x^{\frac{2}{3}}$ он пишет, что это есть $(\sqrt[3]{x})^2$ только если выбрать real-valued root.

[GAA]

EUgeneUS, вопрос в ветке о задаче из конкретного учебника.
В книге
Алгебра и начала математического анализа 10–11 / Алимов Ш.А. и др., M: Просвещение, 2016
в главе I, §4 рассматривается (с.19) корень нечётной степени из отрицательного числа и в качестве упражнений предлагается вычислить корни 3, 5 и 7 степеней из отрицательных чисел. (См. также упражнение 166 4) и ответ к нему.)
В этой книге степени с рациональным показателем определены для положительных оснований, см. глава I, §5.
(Эти положения являются доминирующими в современной школьной математике.)

[Combat Zone]

EUgeneUS
Я говорю о том, как учат в школе. Весь остальной ваш текст меня в данном случае не интересует.

[EUgeneUS]

GAA
Спасибо!
Если есть разногласия, что понимать под каким-то обозначением, то, конечно, нужно смотреть конкретный учебник, как обозначение определяется там, в конкретном курсе.

А то, что положение является доминирующим (а не общепринятым или единственным), то это как раз показывает, что отличное положение имеет место быть.

[kisvadim]

Спасибо большое за ответы.
Еще раз проверил на wolframalpha.com - там также отображаются разные графики: https://www.wolframalpha.com/input?i2d=true&i=y%3DPower%5Bx%2CDivide%5B1%2C3%5D%5D и https://www.wolframalpha.com/input?i=y%3DCbrt%5Bx%5D&assumption=%22%5E%22+-%3E+%22Real%22 Прикол, что в поле ввод (Input) на этих разных графиках одинаковый (с корнем).

Надо это осмыслить, до конца еще конечно не понял.

[Евгений Машеров]

Насколько мне представляется, в школьной (может, и не только) практике сохраняют выражения вида $\sqrt[3]x$ и подобные, несмотря на то, что кубический корень это степень $\frac 1 3$ именно в силу соглашения, что дробные степени определены лишь при неотрицательном основании, а корни нечётных степеней - при любом значении подкоренного выражения. Это вопрос именно соглашения об обозначениях, без которого пришлось бы всякий раз особо оговаривать область определения. Дробная степень может быть определена и для отрицательного основания, но тогда могут вылезти комплексные значения, а если допустить комплексность - то и неоднозначность. Но если потребовать рассмотрения только действительных значений степени, то для степеней вида $\frac 1 n$, где n нечётное, одно из n значений степени будет действительным и при отрицательном основании.
То есть если мы пишем кубический корень - то отрицательные числа под корнем считаем допустимыми, а комплексные корни не рассматриваем, а если степень "одна треть" - то либо не считаем отрицательное основание допустимым, либо работаем с комплексными числами и несколькими корнями. Вопрос соглашения, не более.