Решение уравнения с помощью графиков

[kisvadim]

Учебник Алимова "Алгебра и начала математического анализа. 10-11"

№178.1 Решить уравнение с помощью графиков: $\sqrt[3]{x} = x^2 + x - 1$

Читаем §6, пункт 5. Показатель p - положительное действительное нецелое число. В этом случае:
-- область определения: $x \geqslant 0$
-- множество значений: $y \geqslant 0$
В том же учебнике, на стр. 44 есть график именно данной функции $y = \sqrt[3]{x}$, он определен при $x \geqslant 0$, $y \geqslant 0$.


Вроде бы как раз наш случай. Но во всех решебниках график $y = \sqrt[3]{x}$ лежит от $-\infty$ до $+\infty$
Смотрю на Wolframalpha этот график:

Почему такое расхождение?
Если решать с помощью графиков, то решение одно: $x = 1$ или еще есть решение $x = -1$?

Заранее спасибо.

[sergey zhukov]

Так что, не проверить что-ли, является $x=-1$ решением или нет? Если да, то почему бы графикам это не выявить? И как по вашему, можно извлечь кубический корень из $-1$, скажем? По моему так очень даже можем.

[kisvadim]

sergey zhukov в сообщении #1608048 писал(а):

Так что, не проверить что-ли, является $x=-1$ решением или нет? Если да, то почему бы графикам это не выявить? И как по вашему, можно извлечь кубический корень из $-1$, скажем? По моему так очень даже можем.

Так почему в учебнике именно этот график не полностью изображен? И еще четко написано в §6, пункт 5 именно случай, если p - положительное действительное нецелое число, то график определен при $x \geqslant 0$, $y \geqslant 0$. Или это не правда?

[gefest_md]

kisvadim в сообщении #1608045 писал(а):

Читаем §6, пункт 5. Показатель p - положительное действительное нецелое число. В этом случае:
-- область определения: $x \geqslant 0$
-- множество значений: $y \geqslant 0$
В том же учебнике, на стр. 44 есть график именно данной функции $y = \sqrt[3]{x}$, он определен при $x \geqslant 0$, $y \geqslant 0$.

Определение функции, кроме формулы, включает также задание области определения и области значений. Для решения уравнения наверное надо задать функцию на максимальной области определения, если нет оговорок, т. е.

$f\colon \mathbb{R}\to \mathbb{R}, \ \ f(x)=\sqrt[3]{x}.$

В учебнике даётся общее определение для любого $p$ положительного действительного не целого числа. В том числе, например, для $p=\frac12.$ Поэтому и иллюстрация соответствующая, т. е.

$f\colon \mathbb{R}_+\to \mathbb{R}_+,\ \ f(x)=\sqrt[3]{x}.$

[kisvadim]

gefest_md в сообщении #1608051 писал(а):

В учебнике даётся общее определение для любого $p$ положительного действительного не целого числа. В том числе, например, для $p=\frac12.$ Поэтому и иллюстрация соответствующая, т. е.
$f\colon \mathbb{R}_+\to \mathbb{R}_+,\ \ f(x)=\sqrt[3]{x}.$

В учебнике дается свой график для разного $p$:
1) p - четное, положительное;
2) p - нечетное;
3) p - четное, отрицательное;
4) p - нечетное, отрицательное;
5) $0 < p < 1$ - как раз наш случай!
6) p > 1, не целое;
7) p < 0, не целое.

gefest_md в сообщении #1608051 писал(а):

Для решения уравнения наверное надо задать функцию на максимальной области определения, если нет оговорок, т. е.

Что такое "максимальная область определения"? Я знаю только "область определения".

[sergey zhukov]

kisvadim
Я не знаю, почему в учебнике так нарисовано. Но у вас же и своя голова есть. Никто не посмеет сказать, что $(-1)^3 \neq -1$

[kisvadim]

sergey zhukov в сообщении #1608054 писал(а):

kisvadim
Я не знаю, почему в учебнике так нарисовано. Но у вас же и своя голова есть. Никто не посмеет сказать, что $(-1)^3 \neq -1$

Значит, что все же ошибка в п. 5 параграфа 6. Жалко блин, вроде такой старый учебник и такие косяки. Загуглил: "степенная функция p положительное действительное нецелое число". Также полно примеров, с примерно такой же картинкой, как в учебнике, также все пишут про ограничения x и y.

[gefest_md]

kisvadim в сообщении #1608052 писал(а):

5) $0 < p < 1$ - как раз наш случай!

Где было удобно обобщили. $\frac12$ тоже из этого интервала.

kisvadim в сообщении #1608052 писал(а):

Что такое "максимальная область определения"?

Та область для которой формула, задающая функцию, имеет смысл. В данном случае это $\mathbb{R}.$ Но ограничение на $\mathbb{R}_+$ тоже функция, но другая.

[sergey zhukov]

kisvadim
Я бы решал на всем интервале. Но может в этом учебнике просто договариваются, что область определения таких функций будет от нуля в плюс. Если речь о каком-нибудь экзамене, где все эти глупости имеют решающее значение, то я бы в решении приписал "если принять область определения такую-то, тогда так то, если такую-то, тогда - так-то". Иначе формально не зачтут решение.

[kisvadim]

Даже в википедии говорится, что: "для вещественного показателя $a$ степенная функция $x^{a}$, вообще говоря, определена только при $x>0$"
И график тоже, как в учебнике Алимова.

[Combat Zone]

kisvadim
Функции $f(x)=x^{1/3}$ и $g(x)=\sqrt[3]{x}$ -- разные. У них разные области определения. Вторая определена на всей вещественной прямой, первая -- только для неотрицательных чисел.

[gefest_md]

Combat Zone в сообщении #1608059 писал(а):

Функции $f(x)=x^{1/3}$ и $g(x)=\sqrt[3]{x}$ -- разные.

Точно. Задача 3 на следующей 45 странице в учебнике тоже это подтверждает. Тогда в каком месте определена функция $\sqrt[3]{x}?$ В задаче 3 она известна.

[sergey zhukov]

Combat Zone
Ого, какие тонкости. Я бы еще понял, что для вещественных $a$ область определения от нуля в плюс, т.к. тут $a$ и иррациональным может быть. И даже для $a=\frac{m}{n}$, где целые $m$ и $n$, причем $m$ четная, т.к. здесь однозначно не определено, что это значит: $\sqrt[n]{x^m}$ или $(\sqrt[n]{x})^m$. А вот для $a=\frac{1}{3}$ я бы не сомневался.

[Combat Zone]

gefest_md в сообщении #1608063 писал(а):

Тогда в каком месте определена функция $\sqrt[3]{x}?$ В задаче 3 она известна.

Логически, место изложения арифметического корня в курсе - сразу же вслед за определением функции с целым неотрицательным показателем степени. Думаю, по содержанию легко найти.

-- 05.09.2023, 21:35 --

sergey zhukov в сообщении #1608065 писал(а):

А вот для $a=\frac{1}{3}$ я бы не сомневался.

Понимаете, эта ваша одна третья - то же самое, что две шестых...

[gefest_md]

kisvadim
В учебнике для 9 класса уже есть упражнение 161.(3). Найти область определения функции $y=\sqrt[3]{\frac{1-x}{1+x}}.$ В §6 учебника для 10 класса определяется функция $x^{\frac13}.$ Но она равна функции $f\colon \mathbb{R}_+\to\mathbb{R}_+,\ f(x)=\sqrt[3]{x}.$