Определение вектора

[Xo4y3HaTb]

Вектором называется упорядоченная пара точек. Первая точка называется началом вектора, вторая — концом вектора. Расстояние между началом и концом вектора называется его длиной. Интуитивно, это не одно и тоже, что и направленный отрезок. Где в первом определении определяются внутренние точки вектора (т.е. что интервал от начала вектора и конца принадлежит объекту вектор)? Как будто есть просто две точки, которые записываются в определённом порядке и между ними ничего нет.

[dgwuqtj]

Ну и что? Главное, что оба возможных определения дают изоморфные классы объектов. То есть можно (естественным способом) сопоставить каждому направленному отрезку упорядоченную пару точек, а каждой упорядоченной паре точек - направленный отрезок. Через точки определять удобнее, т.к. не надо определять орентацию на отрезках и отдельно вводить направленные отрезки нулевой длины (которые вообще не отрезки!).

[ozheredov]

Xo4y3HaTb

Сколькими числами задается вектор в двумерном пространстве, разрешите поинтересоваться?

[wrest]

Xo4y3HaTb в сообщении #1607731 писал(а):

Как будто есть просто две точки, которые записываются в определённом порядке и между ними ничего нет.

Ну да, между ними ничего и нет.

[iifat]

Уж не знаю, где вы отыскали такое определение. Как минимум, надо вектором обзывать не пару точек, а фактор-множество пар точек по отношению эквивалентности. Пары точек $(1,2)(3,4)$ и $(3,4)(5,6)$ задают один и тот же вектор.

-- 03.09.2023, 02:58 --

И да, это именно пара точек. Никаких «внутренних точек» у вектора нет.

[svv]

(Оффтоп)

wrest в сообщении #1607753 писал(а):

Ну да, между ними ничего и нет.

iifat в сообщении #1607764 писал(а):

И да, это именно пара точек. Никаких «внутренних точек» у вектора нет.

Вы хотите сказать, что и стрелочка, маленький такой треугольничек у конечной точки, не является частью вектора? Ничего себе...

[wrest]

Вектор не менее "заезженное" понятие чем например "число". Сначала вам в школе дают счетные палочки, а потом через много лет рассказывают про Дедекиндовы сечения, фундаментальные последовательности и непрерывные упорядоченные поля. Этим не заканчивается и вас учат что при возведении в квадрат намного более хитрых чисел чем посконные Дедекиндовы сечения, может получиться и отрицательное число тоже. Ну вот так же и с векторами. То отрезок со стрелкой, то пара точек, а то и вовсе столбец чисел.

[Xo4y3HaTb]

ozheredov в сообщении #1607751 писал(а):

Сколькими числами задается вектор в двумерном пространстве, разрешите поинтересоваться?

2 числами можно задать вектор.
Мне уже говорили что в векторном пространстве нет точек, а только вектора, но я продолжал представлять себе вектор с "телом", а они как понял "пустые" (ну или с микрострелочкой у точки).
Если так представлять, то вопрос снимается.
Всем большое спасибо за помощь!

[пианист]

(Оффтоп)

Xo4y3HaTb в сообщении #1607810 писал(а):

в векторном пространстве нет точек

С точками это будет аффинное пространство, если что.

[svv]

(Оффтоп)

Xo4y3HaTb в сообщении #1607810 писал(а):

ну или с микрострелочкой у точки

Это была шутка:

svv в сообщении #1607796 писал(а):

Вы хотите сказать, что и стрелочка, маленький такой треугольничек у конечной точки, не является частью вектора? Ничего себе...

[Xo4y3HaTb]

Если у вектора нет "тела" , то возникает такой вопрос. Пусть дана Декартова система координат на плоскости, заданы точки $A(0,0), B(0,1), C(1,0), D(1,1)$. Что является пересечением векторов $\vec{AD}$ и $\vec{BC}$? Пустое множество?

[dgwuqtj]

У векторов не определяются теоретико-множественные операции. Только равенство и алгебраические операции (длина, сумма, ...).

[Mikhail_K]

Xo4y3HaTb в сообщении #1608405 писал(а):

Что является пересечением векторов $\vec{AD}$ и $\vec{BC}$? Пустое множество?

Векторы - это вообще не множества точек, поэтому нет смысла говорить об их пересечении. Можно сказать, что такая-то точка принадлежит такому-то отрезку, но нельзя говорить, что та или иная точка принадлежит вектору (хоть начальная, хоть конечная, хоть те что посередине).

[EminentVictorians]

dgwuqtj в сообщении #1608406 писал(а):

У векторов не определяются теоретико-множественные операции.

Ну почему же? Векторы - это множества. Для множеств теоретико-множественные операции определены. Значит и для векторов тоже. И если говорить о векторах на евклидовой плоскости, то пересечение любых двух несовпадающих векторов пусто. Просто вектор - это не направленный отрезок, а класс таких направленных отрезков.

[dgwuqtj]

(Оффтоп)

EminentVictorians в сообщении #1608409 писал(а):

Ну почему же? Векторы - это множества. Для множеств теоретико-множественные операции определены. Значит и для векторов тоже. И если говорить о векторах на евклидовой плоскости, то пересечение любых двух несовпадающих векторов пусто. Просто вектор - это не направленный отрезок, а класс таких направленных отрезков.

Конечно, всё явлется множествами. Просто с школьной точки зрения классы эквивалентности не вводятся, а совокупность всех векторов с нестандартным предикатом равенства - вводится. Внутри теории множеств это можно формализовать и не через классы эквивалентности, а тогда пересечение будет зависеть от конкретной теоретико-множественной модели. Даже с пересечением направленных отрезков возникают вопросы.