Экспериментальное определение связности двумерн. поверхности

[B3LYP]

Предположим, на поверхности тора живут муравьи. Как они могут экспериментально определить, что их мир двухсвязный, а не односвязный?
Слышал что годится такой подход – использовать теорему о четырёх красках:

https://ru.wikipedia.org/wiki/Теорема_о_четырёх_красках
http://www.golovolomka.hobby.ru/books/g ... emap.shtml

Если не путаю, поверхность шара, разбитую на страны, всегда можно раскрасить максимум четырьмя красками, а для поверхности тора может быть необходимы до семи красок. Мне хочется это понять. Было бы хорошо, если бы кто-нибудь показал рисунок тора со странами на нём, для которого четырёх красок никак не хватит. И после этого надо ещё продемонстрировать, что для сферы всегда четырёх красок хватит.

[Leeb]

B3LYP в сообщении #1607122 писал(а):

Предположим, на поверхности тора живут муравьи. Как они могут экспериментально определить, что их мир двухсвязный, а не односвязный?
Слышал что годится такой подход – использовать теорему о четырёх красках:

https://ru.wikipedia.org/wiki/Теорема_о_четырёх_красках
http://www.golovolomka.hobby.ru/books/g ... emap.shtml

Если не путаю, поверхность шара, разбитую на страны, всегда можно раскрасить максимум четырьмя красками, а для поверхности тора может быть необходимы до семи красок. Мне хочется это понять. Было бы хорошо, если бы кто-нибудь показал рисунок тора со странами на нём, для которого четырёх красок никак не хватит. И после этого надо ещё продемонстрировать, что для сферы всегда четырёх красок хватит.

Непонятно, что вы подразумеваете "односвязностью" и "двусвязностью" в данном контексте - именно топологический термин $k$-связность (тривиальность всех гомотопических групп вплоть до размерности $k$, или, грубо говоря, возможность стянуть любую сферу размерности $k$ и меньше)? Тогда наличие явных нестягиваемых петель в торе (параллели и меридиана). Двусвязным тор не является, т.к. он уже неодносвязный.

Если же вы хотите показать, что красок для тора надо больше, чем для плоскости или сферы, то покажите, что на плоскости (или на сфере, то же самое в данном контексте) вершины любого графа можно покрасить правильно в 5 цветов (будет можно сказать "теорема о пяти красках"). Это не очень сложно.
А в тор вложите граф $K_7$, например, или на крайняк $K_6$ - это, очевидно, показывает, что нельзя обойтись меньше чем 7 (или 6) красками в принципе.

[KhAl]

Leeb в сообщении #1607126 писал(а):

Тогда наличие явных нестягиваемых петель в торе (параллели и меридиана).

а как муравью понять, что они нестягиваемы?

-- 29.08.2023, 22:13 --

А вообще муравьи могут легко понять, что живут именно на торе, например, триангулировав его (каждый треугольник по отдельности муравей может видеть, то, как они склеены между собой — тоже понимает). Тогда муравьи-математики про топологические свойства всё скажут.

[dgwuqtj]

И для теоремы о четырёх красках, и для гомотопических групп, и для гомологий надо иметь разбиение поверхности на многоугольники (гомеоморфные кругам). Если такое разбиение есть, то стягиваемость пути в графе проверить легко, но это надо иметь сразу полный список вершин и рёбер графа, а также областей, на которые разбита поверхность.

[KhAl]

(Оффтоп)

dgwuqtj в сообщении #1607137 писал(а):

И для теоремы о четырёх красках, и для гомотопических групп, и для гомологий надо иметь разбиение поверхности на многоугольники (гомеоморфные кругам).

прям-таки надо?

[dgwuqtj]

(Оффтоп)

KhAl в сообщении #1607140 писал(а):

прям-таки надо?

Конечно, достаточно знать топологию кусков, если они не диски, но муравью так проще не станет...

[B3LYP]

Leeb в сообщении #1607126 писал(а):

Непонятно, что вы подразумеваете "односвязностью" и "двусвязностью" в данном контексте - именно топологический термин $k$-связность (тривиальность всех гомотопических групп вплоть до размерности $k$, или, грубо говоря, возможность стянуть любую сферу размерности $k$ и меньше)? Тогда наличие явных нестягиваемых петель в торе (параллели и меридиана). Двусвязным тор не является, т.к. он уже неодносвязный.

Я тут как обычно имею знания только по верхам; мне казалось, что связность как параметр определяется количеством "дырок" в трехмерном объекте, через которые можно продеть нитку. У тора или чашки такая дырка одна, у чашки с двумя ручками - две и так далее. Или я не так понимаю?

Leeb в сообщении #1607126 писал(а):

Если же вы хотите показать, что красок для тора надо больше, чем для плоскости или сферы, то покажите, что на плоскости (или на сфере, то же самое в данном контексте) вершины любого графа можно покрасить правильно в 5 цветов (будет можно сказать "теорема о пяти красках"). Это не очень сложно.
А в тор вложите граф $K_7$, например, или на крайняк $K_6$ - это, очевидно, показывает, что нельзя обойтись меньше чем 7 (или 6) красками в принципе.

Пока могу показать, что для сферы могут быть необходимы 4 цвета. Возьмём цилиндр, нижнее основание покрасим красным цветом, верхнее зелёным; боковую же поверхность раскрасим штрих-кодом, т.е. вертикальными полосками двух чередующихся цветов - белого и чёрного. Тут видно что тремя красками не обойтись.

[dgwuqtj]

B3LYP в сообщении #1607220 писал(а):

Я тут как обычно имею знания только по верхам; мне казалось, что связность как параметр определяется количеством "дырок" в трехмерном объекте, через которые можно продеть нитку. У тора или чашки такая дырка одна, у чашки с двумя ручками - две и так далее. Или я не так понимаю?

Это называется родом поверхности: у сферы род 0, у тора - 1, и так далее. Если неформально, то это количество "ручек" у поверхности.

[Leeb]

B3LYP в сообщении #1607220 писал(а):

Leeb в сообщении #1607126 писал(а):

Непонятно, что вы подразумеваете "односвязностью" и "двусвязностью" в данном контексте - именно топологический термин $k$-связность (тривиальность всех гомотопических групп вплоть до размерности $k$, или, грубо говоря, возможность стянуть любую сферу размерности $k$ и меньше)? Тогда наличие явных нестягиваемых петель в торе (параллели и меридиана). Двусвязным тор не является, т.к. он уже неодносвязный.

Я тут как обычно имею знания только по верхам; мне казалось, что связность как параметр определяется количеством "дырок" в трехмерном объекте, через которые можно продеть нитку. У тора или чашки такая дырка одна, у чашки с двумя ручками - две и так далее. Или я не так понимаю?

Leeb в сообщении #1607126 писал(а):

Если же вы хотите показать, что красок для тора надо больше, чем для плоскости или сферы, то покажите, что на плоскости (или на сфере, то же самое в данном контексте) вершины любого графа можно покрасить правильно в 5 цветов (будет можно сказать "теорема о пяти красках"). Это не очень сложно.
А в тор вложите граф $K_7$, например, или на крайняк $K_6$ - это, очевидно, показывает, что нельзя обойтись меньше чем 7 (или 6) красками в принципе.

Пока могу показать, что для сферы могут быть необходимы 4 цвета. Возьмём цилиндр, нижнее основание покрасим красным цветом, верхнее зелёным; боковую же поверхность раскрасим штрих-кодом, т.е. вертикальными полосками двух чередующихся цветов - белого и чёрного. Тут видно что тремя красками не обойтись.

В принципе, число красок действительно является топологическим инвариантом. Но если вам нужно просто хоть как-то отличить тор от сферы, то есть способы проще, триангуляция - один из них, как уже упоминал KhAI. Или те же две петли, меридиан и параллель, совсем просто.

По поводу способа красок: понимаете ли вы, что красить карты из областей на плоскости (или любой другой поверхности) - это то же самое, что и красить правильным образом вершины графов, уложенных на данной поверхности? По сути вы показали, что число красок для плоскости не меньше четырёх, что и так очевидно, т.к. граф $K_4$ вкладываться в плоскость. Однако этого мало: выше я предлагал вам показать, что в тор вкладывается граф $K_7$, что автоматически даёт оценку снизу для числа красок для тора. Но из того, что два каких-то числа удовлетворяют неравенствам $a\geqslant4, b\geqslant7$ само по себе не следует, что они не равны друг другу. Еще вам нужно показать, что для плоскости точно хватит какого-то меньшего, чем 7 числа красок. И я предлагаю вам доказать, что 5 красок точно хватит. Тогда будет, что для плоскости 5 хватает, а для тора меньше 7 не хватает, вот и разница.

(Оффтоп)

Впрочем, для доказательства негомеоморфности тора и сферы это все равно излишне, т.к. даже вложимость K_7 в тор уже доказывает - в сферу его не вложить ведь. Этот факт, впрочем, тоже требует доказательств, если уж придираться.

[B3LYP]

Про графы я слышал, но мой подход мне кажется понятнее. Достаточно было бы взглянуть на рисунок тора, разбитого на страны, которых не раскрасишь менее чем семью красками.
Или можно пробовать словесные рассуждения. Выше я раскрасил цилиндр четырьмя цветами: зелёный вверху, красный внизу, по бокам чёрно-белый штрихкод. Теперь проведём в цилиндре ручку с боку. Она должна быть или красного, или зелёного цвета. Теперь соединим нижнюю часть ручки с верхним основанием; ясно что ручка теперь может быть только красного цвета. Теперь, может быть, если провести по ручке штрихкод, вертикальные линии, для них придётся добавлять пятый цвет, но до конца не понятно, как это сформулировать.

[dgwuqtj]

А рисунок есть прямо тут.

[B3LYP]

dgwuqtj в сообщении #1607312 писал(а):

А рисунок есть прямо тут.

Спасибо, всмотрелся, теперь хорошо бы увидеть такую же наглядную иллюстрацию, почему для сферы четырёх или пяти красок всегда хватит.

[dgwuqtj]

А это иллюстрацией не сделать, так как есть бесконечно много способов разбить сферу на области. Для 5 красок как-то доказывается по индукции.

[B3LYP]

dgwuqtj в сообщении #1607221 писал(а):

Это называется родом поверхности: у сферы род 0, у тора - 1, и так далее. Если неформально, то это количество "ручек" у поверхности.

А что такое связность тогда? Быстро не нагуглилось.

[dgwuqtj]

Пространство называется $n$-связным, если все непрерывные отображения из сфер размерности $\leq n$ в него гомотопны постоянным. Ну, "стягиваются в точки".